Enunciado

Considere que um reator esférico de 5 cm de diâmetro em condição operacional permanente tem variação de temperatura expressa na forma T r = a - b r 2 , onde a = 850   ° C e b = 5 ⋅ 10 5   K / m 2 . O reator é feito de material com c = 200   J / k g ⋅ ° C , k = 40   W / m ⋅ K , ρ = 9000   k g / m 3 . Considerando que a geração de calor do reator de repente for definido como 9   M W / m 3 , determine a taxa de variação de temperatura no reator. A geração de calor do reator de repente aumentou ou diminui a 9   M W / m 3 de sua condição inicial?

Passo 1

Vamos lá! Nosso ponto de partida é entender quais as condições que o nosso problema está sujeito, isto é, quais são as nossas hipóteses!

Portanto, temos um problema de regime transiente (variação de temperatura no tempo). Além disto, não há geração de calor, a condução é unidimensional e a condutividade térmica é constante.

Agora sim, podemos partir pro nosso problema! Como estamos trabalhando com uma esfera, vamos utilizar o sistema de coordenadas esférica. Portanto, temos a seguinte EDP que rege a condução de calor no nosso reator:

1 r 2 ∂ ∂ r r 2 ∂ T ∂ r + e ˙ g e r k = 1 α ∂ T ∂ t

Com todas estas considerações iniciais, já podemos partir para a resolução do nosso problema em si.

Passo 2

E agora, como resolvemos a EDP do Passo 1? Para isto, vamos começar a utilizar as informações dadas na questão. Como ela nos deu a variação da temperatura com o raio, já podemos resolver a nossa primeira parte da EDP (transformar ela em uma EDO!).

Para isto, vamos diferenciar a função em relação ao raio. Portanto,

∂ T ∂ r = - 2 b r

Substituindo este termo na EDP, temos:

1 r 2 ∂ ∂ r r 2 ⋅ - 2 b r + e ˙ g e r k = 1 α ∂ T ∂ t

1 r 2 ∂ ∂ r - 2 b r 3 + e ˙ g e r k = 1 α ∂ T ∂ t

1 r 2 ⋅ - 6 b r 2 + e ˙ g e r k = 1 α ∂ T ∂ t

- 6 b + e ˙ g e r k = 1 α ∂ T ∂ t

Ou simplesmente,

∂ T ∂ t = α ⋅ - 6 b + e ˙ g e r k

A questão nos pede para determinar inicialmente a taxa de variação da temperatura no reator. Esta taxa é exatamente o termo ∂ T / ∂ t . Sendo assim, basta apenas substituir os valores das constantes na equação acima. Lembrando que α = k / ρ c , temos:

∂ T ∂ t = k ρ c ⋅ - 6 b + e ˙ g e r k = 40 9000 ⋅ 200 ⋅ - 6 ⋅ 5 ⋅ 10 5 + 9 ⋅ 10 6 40

∂ T ∂ t = - 61,67   ° C

Logo, a taxa de variação da temperatura no reator é -61,67 °C.

Passo 3

Agora, precisamos entender se a geração de calor aumentou para 9   M W / m 3 ou diminuiu para este valor. A chave para esta pergunta é exatamente o valor que calculamos no final do passo anterior!

Ou melhor, sendo mais preciso ainda, a chave é o sinal da nossa resposta! Como a variação da temperatura no tempo é negativa, significa dizer que o calor gerado não é suficiente para manter a temperatura nas condições do processo. Consequentemente, se não é suprido o calor necessário, a temperatura irá diminuir.

Sendo assim, a geração de calor diminuiu

Resposta

A taxa de variação da temperatura no reator é -61,67 °C e a geração de calor diminuiu.

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