Enunciado

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O teorema de transporte de Reynolds (TTR) é discutido no Capítulo 4. Para o caso geral de um volume de controle móvel c/ou deformável, escrevemos o TTR da seguinte maneira:

onde V r → é a velocidade relativa, ou seja, a velocidade do fluido relativa à superfície de controle. Escreva as dimensões primárias de cada termo aditivo da equação e certifique-se de que a equação é dimensionalmente homogénea. Mostre todo o seu trabalho. (Sugestão: como B pode ser qualquer propriedade do escoamento — escalar, vetorial ou mesmo tensional — ele pode ter uma variedade de dimensões. Assim, basta deixar que as dimensões de B sejam aquelas do próprio B {B}. Da mesma forma, b é definido como B por unidade de massa.)

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem?

Primeiro, vamos pontuar as dimensões primárias que já conhecemos:

1. As dimensões primárias da derivada do tempo ( d / d t ) são 1 / t e m p o ;

2. As dimensões primárias da densidade são m a s s a / c o m p r i m e n t o ³ ;

3. As do volume são c o m p r i m e n t o ³ ;

4. As da área são c o m p r i m e n t o ² ;

5. E as da velocidade são c o m p r i m e n t o / t e m p o ;

6. A dimensão primária do vetor n → é unitário, {1} (em outras palavras, n → não tem dimensões);

7. Finalmente, as dimensões primárias de b, que é definido como B por unidade de massa (como o problema mostrou), são { B / m }.

Vamos agora ver se a equação é dimensionalmente homogênea.

Passo 2

Assim, cada termo na equação pode ser escrito em termos de dimensões primárias:

Primeiramente:

d B s i s d t = B t e m p o   ;

d d t ∫ ρ b d V C V = 1 t e m p o ⋅ m a s s a c o m p r i m e n t o 3 ⋅ B m a s s a ⋅ c o m p r i m e n t o 3 = B t e m p o   ;

E

∫ ρ b V → ⋅ n → d A C S = m a s s a c o m p r i m e n t o 3 ⋅ B m a s s a ⋅ c o m p r i m e n t o t e m p o ⋅ 1 ⋅ c o m p r i m e n t o 2 = B t e m p o .

Resposta

Portanto, foi provado que a equação é dimensionalmente homogênea.

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