Enunciado

A água fria entra em um tubo, onde ela é aquecida por uma fonte de calor externa (Figura P7-23). As temperaturas de entrada e saída da água são T c   e   T s , respectivamente. A taxa total de transferência de calor Q ˙ da vizinhança para a água do tubo é

onde m ˙ é a taxa de escoamento de massa através do tubo e c p é o calor específico da água. Escreva as dimensões primárias de cada termo aditivo da equação e certifique-se de que a equação é dimensionalmente homogênea. Mostre todo o seu trabalho.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem?

Devemos primeiramente lembrar que as principais dimensões da taxa de transferência de calor são e n e r g i a / t e m p o . As principais dimensões da vazão mássica são m a s s a / t e m p o e calor específico são e n e r g i a / ( m a s s a ⋅ t e m p e r a t u r a )   .

Em resumo, somente relembramos as dimensões primárias de cada termo. Vamos agora ver se a equação é dimensionalmente homogênea.

Passo 2

Bem, relembrando, a equação é:

Q ˙ = m ˙ c p ( T s - T c )

Assim, cada termo na equação pode ser escrito em termos de dimensões primárias:

Primeiro, a taxa de transferência de calor:

Q ˙ = t r a b a l h o t e m p o = F o r ç a ⋅ c o m p r i m e n t o t e m p o = m a s s a ⋅ a c e l e r a ç ã o ⋅ c o m p r i m e n t o t e m p o

Obs: Lembrando que F o r ç a = m a s s a ⋅ a c e l e r a ç ã o (segunda Lei de Newton)

Continuando a dedução, encontramos:

Q ˙ = m a s s a ⋅ c o m p r i m e n t o t e m p o 2 ⋅ c o m p r i m e n t o t e m p o = m a s s a ⋅ c o m p r i m e n t o ² t e m p o ³   ;

Passo 3

Agora:

m ˙ c p T s - T c = m a s s a t e m p o ⋅ e n e r g i a m a s s a ⋅ t e m p e r a t u r a ⋅ t e m p e r a t u r a

Continuando a dedução, encontramos:

m ˙ c p T s - T c = m a s s a t e m p o ⋅ m a s s a ⋅ a c e l e r a ç ã o ⋅ c o m p r i m e n t o m a s s a ⋅ t e m p e r a t u r a ⋅ t e m p e r a t u r a = m a s s a ⋅ c o m p r i m e n t o ² t e m p o ³

Obs: Lembrando que:

a c e l e r a ç ã o = c o m p r i m e n t o t e m p o 2

Resposta

Portanto, foi provado que a equação é dimensionalmente homogênea.

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