Enunciado

Um teste de modelo de um conjunto cavalo-reboque é realizado em um túnel de vento. A força de arrasto, F D , é considerada ser dependente da área frontal, A , da velocidade do vento, V , da massa específica do ar, ρ , e da viscosidade do ar, μ . A escala do modelo é 1:4; a área frontal do modelo é A = 0,625   m 2 . Obtenha um conjunto de parâmetros adimensionais adequados para organizar os resultados do teste com o modelo. Defina as condições necessárias para alcançar a semelhança dinâmica entre os escoamentos de modelo e de protótipo. Quando testado à velocidade do vento V = 89,6   m / s , no ar-padrão, a força de arrasto medida sobre o modelo foi F D = 2,46   k N . Considerando semelhança dinâmica, estime a força de arrasto aerodinâmico sobre a carreta em tamanho real a V = 22,4   m / s . Calcule a potência necessária para vencer esta força de arrasto, se não houver vento.

Passo 1

Neste problema é pedido os parâmetros adimensionais para avaliação de escoamento em túnel de vento, além das condições para semelhança dinâmica, a força de arrasto do protótipo e a potência para vencer a força de arrasto.

Para resolver a primeira parte do problema será necessário o uso do Teorema de Buckingham.

Como parâmetros conhecidos:

- escala linear: E l = 1 4 ;

- área frontal do modelo: A = 0,625   m 2 ;

- velocidade do vento: V = 89,6   m / s ;

- força de arrasto sobre o modelo: F D = 2,46   k N ;

- velocidade do protótipo: V = 22,4   m / s .

Passo 2

Definindo os parâmetros dimensionais importantes para o problema: força de arrasto ( F D ), área frontal ( A ), velocidade de escoamento ( V ), massa específica ( ρ ) e viscosidade do fluido ( μ ).

Logo o número de parâmetros dimensionais é:

n = 5

Passo 3

Escolhendo as dimensões primárias:

- F D = M ∙ L t 2

- A = L 2

- V = L t

- ρ = M L 3

- μ = M L ∙ t

Logo, as dimensões primárias são M , L e t , ou seja:

r = m = 3

Passo 4

Os parâmetros repentes serão r = m = 3 .

Neste prolema como parâmetros repetentes serão escolhidos ρ , V e A , os quais representam as características dinâmica, cinética e geométrica, respectivamente.

Passo 5

Número de parâmetros adimensionais ( n - m ):

n - m = 5 - 3 = 2   a d i m e n s i o n a i s  

Passo 6

Os adimensionais a serem obtidos podem ser escritos como:

- π 1

π 1 = F D ∙ ρ a ∙ V b ∙ A c

M 0 ∙ L 0 ∙ T 0 = M ∙ L t 2 ∙ M L 3 a ∙ L t b ∙ L 2 c

Montando o sistema linear:

M :     1 + a = 0

L :     1 - 3 a + b + 2 c = 0

t :   - 2 - b = 0

Resolvendo o sistema:

a = - 1

b = - 2

c = - 1

Logo:

π 1 = F D ∙ ρ - 1 ∙ V - 2 ∙ A - 1

De forma que π 1 vale:

π 1 = F D ρ V 2 A

- π 2

π 2 = μ ∙ ρ a ∙ V b ∙ A c

M 0 ∙ L 0 ∙ T 0 = M L ∙ t ∙ M L 3 a ∙ L t b ∙ L 2 c

Montando o sistema linear:

M :     1 + a = 0

L :   - 1 - 3 a + b + 2 c = 0

t :   - 1 - b = 0

Resolvendo o sistema:

a = - 1

b = - 1

c = - 1 2

Logo:

π 2 = μ ∙ ρ - 1 ∙ V - 2 ∙ A - 1 2

De forma que π 2 vale:

π 2 = μ ρ V 2 A 1 / 2

Passo 7

Para alcançar a semelhança dinâmica é necessário garantir a semelhança geométrica e cinética. Em problema de escoamento em túnel de vento será necessário garantir a semelhança do número de Reynolds.

Assegurada a semelhança dinâmica, o coeficiente de arrasto pode ser escrito como:

C D m = C D p

F D m 1 2 ρ m V m 2 A m = F D p 1 2 ρ p V p 2 A p

Considerando que o modelo e o protótipo usem os mesmo fluido ( ρ m = ρ p ), então:

F D m V m 2 A m = F D p V p 2 A p

Logo, a força de arrasto do protótipo pode ser escrita como:

F D p = F D m V p 2 V m 2 A p A m

Sabe-se que a escala de área é dada pela escala linear ao quadrado, ou seja:

A m A p = 1 4 2

Então o termo F D p pode ser reescrito como:

F D p = F D m V p 2 V m 2 1 A m A p

Utilizando os valores numéricos conhecidos:

F D p = 2,46 × 10 3 × 22,4 2 89,6 2 1 1 4 2

F D p = 2,46 × 10 3 × 22,4 2 89,6 2 1 1 4 2

F D p = 2460   N

Passo 8

A potência necessária para vencer a força de arrasto pode ser calculada a partir da noção de:

P o t = F ∙ V

No problema é conhecida força de arrasto do protótipo e a velocidade de escoamento no protótipo, então:

P o t = F D p ∙ V p = 2460 × 22,4 ≅ 55.104,0   W

Resposta

π 1 = F D ρ V 2 A

π 2 = μ ρ V 2 A 1 / 2

F D p = 2460   N

P o t ≅ 55.104,0   W

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