Enunciado

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O torque M requerido para acionar o viscosímetro do tipo cone-placa (mostrado abaixo) depende do raio R, da velocidade de rotação Ω , da viscosidade do fluido μ e do ângulo θ do cone. Reescreva essa relação em forma adimensional. Como a relação se simplifica se soubermos que M é proporcional a θ ?

Passo 1

Vamos para mais um desafio da mecânica dos fluidos combinando a análise adimensional rsrs?

Vamos escrever matematicamente como as coisas são função de outras?

M = f ( R ,   Ω ,   μ ,   θ )

Quais são as unidades bases desses parâmetros?

M = M L 2 T - 2

R = L

Ω = T - 1

μ = M L - 1 T - 1

θ = 1

Como temos 5 variáveis (n), e temos 3 dimensões bases (MLT), tem-se que o número de grupos pi iguais a 5 – 3 = 2 grupos!

Sendo que um grupo COM CERTEZA será θ uma vez que ele tem dimensão 1!!!

Passo 2

Bem, podemos então escrever o outro grupo que queremos encontrar, certo?

Π 1 = R a Ω b μ c M

Passo 3

Vamos agora fazer as análises dimensionais e assim montar as equações algébricas!!!

Π 1 = R a Ω b μ c M

L a T - 1 b M L - 1 T - 1 c M L 2 T - 2 = { M 0 L 0 T 0 }

M : c + 1 = 0 → c = - 1

L : a - c + 2 = 0 → a = - 3

T : - b - c - 2 = 0 → b = - 1

Π 1 = M μ Ω R 3

Passo 4

M μ Ω R 3 = f ( θ )

Se temos que M   ∝ θ , temos que:

M μ Ω R 3 θ = c o n s t a n t e

Resposta

M μ Ω R 3 θ = c o n s t a n t e

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