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A equação diferencial da energia para escoamento bidimensional incompressível através de um meio poroso do “tipo Darcy” é aproximadamente

ρ c p σ μ   ∂ p ∂ x ∂ T ∂ x + ρ c p σ μ   ∂ p ∂ y ∂ T ∂ y + k ∂ 2 T ∂ y 2 = 0

em que σ é a permeabilidade do meio poroso. Todos os outros símbolos têm seus significados usuais. (a) Quais são as dimensões apropriadas para σ ? (b) Adimensionalize essa equação, usando ( L , U , ρ , T 0 ) como constantes de escala, e discuta quaisquer parâmetros adimensionais que aparecerem.

Passo 1

Para resolvermos a letra “a” basta compararmos as dimensões de dois termos da equação, uma vez que uma equação composta por termos que se somam, todos os termos terão as mesmas unidades.

Vamos comparar as dimensões do primeiro e do terceiro termo da equação (vamos utilizar estes termos pois o primeiro contém a variável σ e o terceiro que não possui nenhuma dimensão desconhecida):

ρ c p σ μ   ∂ p ∂ x ∂ T ∂ x = k ∂ 2 T ∂ y 2

Escrevendo suas dimensões e fazendo os ajustes necessários vamos ter:

σ M L - 3 * L 2 T - 2 Θ - * 1 M L - T - * M L - T - 2 L * Θ L = M L T - 3 Θ - * Θ L 2

σ M L - 3 T - 3 = M L - T - 3

σ = M L - T - 3 M L - 3 T - 3 = 1 L - 2 = { L 2 }

Passo 2

Para a letra “b” vamos começar adimensionalizando as variáveis utilizando as constantes de escala dadas no exercício:

x * = x L ;

y * = y L ;

p * = p ρ U 2 ;

T * = T T 0 .

Substituindo os parâmetros na equação dada no problema pelos parâmetros adimensionais:

ρ c p σ μ   ∂ ρ U 2 p * ∂ L x * ∂ T 0 T * ∂ L x * + ρ c p σ μ   ∂ ρ U 2 p * ∂ L y * ∂ T 0 T * ∂ L y * + k ∂ 2 T 0 T * ∂ L y * 2 = 0

ρ c p σ μ ρ U 2 L T 0 L ∂ p * ∂ x * ∂ T * ∂ x * + ρ c p σ μ ρ U 2 L T 0 L ∂ p * ∂ y * ∂ T * ∂ y * + k T 0 L 2 ∂ 2 T * ∂ y * 2 = 0

ρ 2 c p σ U 2 T 0 μ L 2 ∂ p * ∂ x * ∂ T * ∂ x * + ρ 2 c p σ U 2 T 0 μ L 2 ∂ p * ∂ y * ∂ T * ∂ y * + k T 0 L 2 ∂ 2 T * ∂ y * 2 = 0

Multiplicando todos os termos por L 2 e dividindo por k T 0 :

ρ 2 c p σ U 2 μ k ∂ p * ∂ x * ∂ T * ∂ x * + ρ 2 c p σ U 2 μ k ∂ p * ∂ y * ∂ T * ∂ y * + ∂ 2 T * ∂ y * 2 = 0

Chamando de c o parâmetro adimensional, temos:

c ∂ p * ∂ x * ∂ T * ∂ x * + ∂ p * ∂ y * ∂ T * ∂ y * + ∂ 2 T * ∂ y * 2 = 0 ,     c = ρ 2 c p σ U 2 μ k

Resposta

{ σ } = { L 2 }

Em relação à c = ρ 2 c p σ U 2 μ k , este não é nenhum parâmetro nomeado, entretanto, está relacionado ao número de Darcy-Rayleigh.

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