Enunciado

Um transistor, que pode ser aproximado por uma fonte de calor hemisférica com raio r e = 0,1   m m , está inserido em um grande substrato de silício ( k = 125   W / m K ) e dissipa calor a uma taxa q . Todas as fronteiras do silício são mantidas à temperatura ambiente de T ∞ = 27 ° C , exceto a superfície superior, que se encontra isolada termicamente.

Obtenha uma expressão geral para a distribuição de temperaturas no substrato e determine a temperatura da superfície da fonte de calor para q = 4   W .

Passo 1

Temos um transistor semi-esférico com uma temperatura de superfície T s e que dissipa q = 4   W para o substrato de silício. Devemos obter o perfil de temperaturas no substrato e, a temperatura T s . Vamos lá???

Vamos começar adotando alguns pontos. O processo de transferência de calor ocorre em regime permanente e apenas na direção radial. Então, a taxa de transferência de calor através do transistor é constante. No interior do substrato a transferência de calor se dá apenas por condução. Aplicando a lei de Fourier:

q A = - k d T d r

q 2 π r 2 = - k   d T / d r

- q 2 π k = r 2 d T d r

Como só temos constantes do lado esquerdo:

C 1 = r 2 d T d r

C 1 r 2 d r = d T

Integrando:

∫ C 1 r 2 d r = ∫ d T

- C 1 r + C 2 = T

Passo 2

Para encontrar as constantes C 1 e C 2 vamos aplicar as condições de contorno do sistema. Sabemos que para uma distância r muito grande ( r → ∞ ) a temperatura da fronteira do substrato é T = T ∞ . Então:

- C 1 ∞ + C 2 = T ∞

C 2 = T ∞

A outra condição é que em r = r e a temperatura é T = T s :

- C 1 r e + C 2 = T s

C 1 r e = C 2 - T s

C 1 = r e ( T ∞ - T s )

E o perfil de temperatura fica:

T = - C 1 r + C 2

T = T ∞ - r e T ∞ - T s r

Passo 3

Vamos agora determinar a temperatura da superfície para o caso em que q = 4   W . Pela lei de Fourier:

q A = - k d T d r

q 2 π r e 2 = - k d d r T ∞ - r e T ∞ - T s r

q 2 π r e 2 = - k r e T ∞ - T s r 2

Para r = r e :

q 2 π r e 2 = - k r e T ∞ - T s r e 2

q = - 2 π k r e ( T ∞ - T s )

q 2 π k r e = T s - T ∞

T s = q 2 π k + T ∞

T s = 4 2 π × 125 × 0,1 × 10 - 3 + 27

T s = 77,9   ° C

Resposta

Perfil de temperatura:

T = T ∞ - r e T ∞ - T s r

E T s = 77,9 ° C .

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