Enunciado

Ar no interior de uma câmara a T ∞ , i = 50 ° C é aquecido por convecção, com h i = 20   W / m 2 K , por uma parede com 200   m m de espessura, condutividade térmica de 4   W / m K e com geração uniforme de calor a uma taxa de 1000   W / m 3 . Para evitar que qualquer calor gerado no interior da parede seja perdido para o lado de fora da câmara, a T ∞ , e = 25 ° C e h e = 5   W / m 2 K , uma fita aquecedora elétrica muito fina é colocada sobre a superfície externa da parede para fornecer um fluxo térmico uniforme, q e ' ' .

(a) Esboce a distribuição de temperaturas na parede, em um sistema de coordenadas T - x , para a condição na qual nenhum calor gerado no seu interior é perdido para o lado de fora da câmara.

(b) Quais são as temperaturas nas superfícies da parede, T ( 0 ) e T ( L ) , para as condições da parte (a)?

(c) Determine o valor de q e ' ' que deve ser fornecido pela fita aquecedora de modo que todo o calor gerado no interior da parede seja transferido para o interior da câmara.

(d) Se a geração de calor na parede for interrompida enquanto o fluxo fornecido pela fita aquecedora permanecer constante, qual será a temperatura em regime estacionário, T ( 0 ) , na superfície externa da parede?

Passo 1

O item (a) nos pede para começar esboçando o perfil de temperatura no interior da parede. Vamos supor que a transferência de calor ocorre em regime permanente e apenas na direção x . Na parede a transferência de calor ocorre apenas pelo mecanismo de condução:

q A = - k d T d x

1.000 V A = - k d T d x

1.000   x =   - k d T d x

- 1.000 k x = d T d x

C 1 x = d T d x

Integrando dos dois lados:

∫ C 1 x d x = ∫ d T

C 1 x 2 2 + C 2 = T

Então, o perfil de temperatura será parabólico. Além disso, sabemos que não há transferência de calor para fora da fita, então

q x = 0 = 0 = - k d T d x x = 0

d T d x x = 0 = 0

Portanto, o perfil de temperatura na parede é parabólico, com gradiente de temperatura igual a zero na posição x = 0 :

Passo 2

Para o item (b) devemos encontrar as temperaturas T ( 0 ) e T ( L ) . Para isso, vamos definir as constantes C 1 e C 2 . Do item (a):

C 1 = - 1.000 k

Para x = 0 → T = T ( 0 ) :

T 0 = C 1 x 2 2 + C 2

C 2 = T ( 0 )

Então o perfil de temperaturas é:

T = - 1.000 2 k x 2 + T ( 0 )

T L = - 1.000 2 k L 2 + T ( 0 )

Vamos agora aplicar um balanço de energia na parede x = L :

d E d t = E ˙ e n t - E ˙ s a í d a + E ˙ g e r

Em regime permanente e considerando que não há produção de energia ( E ˙ g e r = 0 ):

d E d t = 0 = q c o n d - q c o n v

q c o n d = q c o n v

- k A d T d x x = L = h i A ( T L - T ∞ , i )

- k d d x - 1.000 2 k x 2 + T 0 x = L = h i ( T L - T ∞ , i )

- k - 1.000 k L = h i T L - T ∞ , i

1.000   L = h i T L - T ∞ , i

1.000 L h i + T ∞ , i = T ( L )

T L = 1.000 ( 200 × 10 - 3 ) 20 + 50

T L = 60 ° C

Da equação do perfil:

T L = - 1.000 2 k L 2 + T ( 0 )

T 0 = T L + 1.000 2 k L 2

T 0 = 60 + 1.000 2 × 4 200 × 10 - 3 2

T 0 = 65 ° C

Vamos agora para o item (c). Neste item devemos encontrar o fluxo q e ' ' para que não haja fluxo de calor da parede para o ambiente externo. Para isso, vamos fazer o balanço de energia na parede x = 0 .

d E d t = E ˙ e n t - E ˙ s a í d a + E ˙ g e r

Em regime permanente e considerando que não há produção de energia ( E ˙ g e r = 0 ):

d E d t = 0 = q e ' ' A - q c o n v

q e ' ' A = q c o n v

q e ' ' = h e ( T 0 - T ∞ , e )

q e ' ' = 5 × ( 65 - 25 )

q e ' ' = 200   W / m 2

Passo 3

Agora no item (d) devemos encontrar a nova temperatura de equilíbrio T ( 0 ) para a condição em que a parede deixa de produzir energia. Para isso, vamos fazer um balanço de energia considerando que o regime estacionário já foi atingido:

0 = E ˙ e n t - E ˙ s a í d a

Desta vez temos apenas a fita eletromagnética fornecendo energia ao sistema e, perda de calor pelas duas paredes. Então:

0 = q e ' ' A - q 0 + q L

q e ' ' A = q 0 + q L

Para definir as taxas de perda de calor em cada parede vamos calcular as resistências envolvidas em cada caso. Começando pela parede x = 0 , teremos apenas transferência de calor por convecção. Então:

R c o n v 0 = 1 h e A

R c o n v 0 = R T 0 = 1 5 A = 0,2 A

Para a parede x = L temos condução na parede e convecção no ambiente interno:

R c o n d L = L k A

R c o n d L = 200 × 10 - 3 4 A = 0,05 A

E

R c o n v L = 1 h i A

R c o n v L = 1 20 A = 0,05 A

E a resistência equivalente na parede x = L é:

R T L = R c o n d L + R c o n v ( L )

R T L = 0,05 A + 0,05 A = 0,1 A

Voltando para o balanço iremos substituir

q 0 = T 0 - T ∞ , e R T 0

q L = T 0 - T ∞ , i R T L

Ficamos então com:

q e ' ' A = q 0 + q L

q e ' ' A = T 0 - T ∞ , e R T 0 + T 0 - T ∞ , i R T L

q e ' ' A = A T 0 - 25 0,2 + A T 0 - 50 0,1

q e ' ' = T 0 - 25 0,2 + T 0 - 50 0,1

200 = T 0 - 25 0,2 + 2 T 0 - 100 0,2

200 × 0,2 = 3 T 0 - 125

3 T 0 = 40 + 125 = 165

T 0 = 165 3 = 55 ° C

Resposta

(a)

(b) T 0 = 65 ° C

T L = 60 ° C

(c) q e ' ' = 200   W / m 2

(d) T 0 = 55 ° C .

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