Enunciado

Na figura abaixo, o jato atinge a pá movendo-se para a direita à velocidade constante V c em um carrinho sem atrito. Calcule (a) a força F x requerida para conter o carrinho e (b) a potência P entregue ao carrinho. Encontre também a velocidade do carrinho para qual (c) a força F x é máxima e (d) a potência P é máxima.

Passo 1

(a) Bem, esse exercício é um clássico na mecânica dos fluidos e eu estou aqui pra te ajudarrr!!

Então vamos observar o seguinte, se queremos calcular a força na direção x, então precisamos fazer um balanço de forças!!!

Primeiro vamos observar que, o jato atinge a pá em uma velocidade relativa de V j - V c , afinal a pá está se movendo, então precisamos trabalhar com velocidade relativa.

Como o carrinho não sofre acelera, temos que o somatório das forças deve dar zero!

m ˙ e u e - m ˙ s u s , x - F x = 0

Note que precisamos decompor nossa velocidade de saída na direção x, certo?

Passo 2

A vazão mássica é constante porque estamos em uma física com fluido incompressível! Então podemos escrever que:

m ˙ u e - u s , x - F x = 0

u s , x = u s c o s θ

Sabemos que as velocidades de entrada e saída devem ser iguais, pois a área de seção transversal de escoamento se manteve ao longo do escoamento, logo:

u s , x = V j - V c c o s θ

u e = V j - V c

Passo 3

A vazão mássica é dada pelo produto da vazão volumétrica pela densidade do fluido, então vamos escrever assim nossa equação de balanço de forças:

m ˙ u e - u s , x - F x = 0

ρ A j V j - V c V j - V c - V j - V c c o s θ - F x = 0

F x = ρ A j V j - V c 2 ( 1 - c o s θ )

Passo 4

(b) A potência concedida ao carrinho é dada pela fórmula P = V c F X

P = ρ A j V c V j - V c 2 1 - c o s θ

Passo 5

(c) Para observar quando a força será máxima, vamos observar nossa equação para Fx

F x = ρ A j V j - V c 2 ( 1 - c o s θ )

Podemos concluir então que quando Vc= 0, teremos que Fx será máxima.

F x , m á x = ρ A j V j 2 ( 1 - c o s θ )

Passo 6

(d) A potência máxima acontece quando derivamos nossa equação em função da velocidade do carrinho e igualamos isso a zero.

P = ρ A j V c V j - V c 2 1 - c o s θ

d P d V c = 0

Gerando o valor de V c = V j 3

Resposta

a       F x = ρ A j V j - V c 2 ( 1 - c o s θ )

b   P = ρ A j V c V j - V c 2 1 - c o s θ

c       V c = 0

d       V c = V j 3

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