Enunciado

Considere o arranjo de resfriamento com microcanais do Problema 8.107. Entretanto, ao invés de supor o chip inteiro e a cobertura a uma temperatura uniforme, adote uma abordagem mais conservativa (e realística), que especifica uma temperatura de T s = 350 K na base dos canais (x = 0) e permite uma diminuição da temperatura com o aumento de x ao longo das paredes laterais de cada canal.

(a) Para as condições operacionais especificadas no Problema 8.107 e uma condutividade térmica do chip de k c h = 140 W/(m·K), determine a temperatura de saída da água e a dissipação de potência no chip. A transferência de calor das laterais do chip para a vizinhança e da parede lateral de um canal para a cobertura podem ser desprezadas. Observe que o espaçamento entre os canais, δ = S – W, é o dobro do espaçamento entre a parede lateral de um canal externo e a superfície externa do chip. O passo dos canais é S = L/N, com L = 10 mm sendo a largura do chip e N = 50 o número dos canais.

(b) A geometria do canal especificada no Problema 8.107 e usada na parte (a) não é otimizada e taxas de transferências de calor maiores podem ser dissipadas através do ajuste de dimensões relacionadas entre si. Considere o efeito da redução do passo até valores de S = 100 μm, mantendo uma largura de W = 50 μm e uma vazão por canal de m ˙ 1 = 10 - 4   k g / s .

Passo 1

Beleza! Vamos começar esse exercício assumindo a temperatura média da água no interior do canal de 300 K, dessa forma, teremos T - m = 300   K , com isso vamos recorrer à tabela A.6 do apêndice A para pegar as propriedades da água nessa temperatura, então teremos:

c p = 4179   J / k g . K

μ = 855.10 - 6   k g / s . m

k = 0,613   W / m . K

P r = 5,83

Agora, nesse exercício teremos as laterais dos microcanais agindo como se fossem aletas. Vamos calcular o passo S dos canais através da equação fornecida no enunciado, onde teremos:

S = L N = 10.10 - 3 50 → S = 2.10 - 4   m

Com isso, o espaçamento entre os canais será:

δ = S - W = 2.10 - 4 - 50.10 - 6 → δ = 1,5.10 - 4

Agora, como vamos tratar as laterais dos microcanais como aletas, temos que a resistência térmica da célula pode ser encontrada através da equação 3.108, dada para um conjunto de aletas, onde temos:

R t = 1 η o h A t

Onde nós temos que:

A t = A f + A b = L ( 2 H + W )

Substituindo os valores conhecidos, chegamos em:

A t = 0,01 2 2.10 - 4 + 50.10 - 6 → A t = 4,5.10 - 6   m 2

Passo 2

Agora vamos calcular o diâmetro hidráulico para o nosso sistema, que será dado por:

D h = 4 H . W 2 H + W = 4 2.10 - 4 50.10 - 6 2 2.10 - 4 + 50.10 - 6 → D h = 8.10 - 5   m

Então, com isso, podemos encontrar o número de Reynolds, que será dado por:

R e D = ρ u m D h μ

Sabemos que a vazão mássica pode ser escrita como:

m ˙ = ρ u m A c → ρ u m = m ˙ A c

Substituindo essa expressão na equação para Reynolds e substituindo os valores conhecidos, temos:

R e D = m ˙ D h μ A c = 10 - 4 8.10 - 5 855.10 - 6 50.10 - 6 2 . 10 - 4 → R e D = 935,7

Dessa forma, sabemos que o escoamento será laminar.

Passo 3

Com o número de Reynolds encontrado no passo 2, temos que o escoamento é laminar. Com isso, vamos consultar a tabela 8.1 vista nessa seção e apresentada a seguir para obter no número de Nusselt para o escoamento:

Então, precisamos calcular a razão b/a, onde teremos:

b a = H W = 200 50 → b a = 4

E, como temos T s uniforme, então no nosso caso teremos:

N u D = 4,44

Com isso, sabendo que o número de Nusselt se relaciona com o coeficiente convectivo através da seguinte relação:

h = N u D k D h

Substituindo os valores conhecidos, temos:

h = 4,44 0,613 8.10 - 5 → h = 34021,5   W / m 2 . K

Agora, com isso podemos calcular a eficiência de uma aleta, dada por:

η f = tanh ⁡ m H m H

Onde temos:

m = 2 h k c h δ

Substituindo os valores conhecidos, temos:

m = 2 34021,5 140 1,5.10 - 4 → m = 1800

Então, a eficiência para uma aleta será:

η f = tanh ⁡ 1800 2.10 - 4 1800 2.10 - 4 → η f = 0,958

Passo 4

Agora, com a eficiência da aleta, podemos calcular a eficiência geral de superfície, dada por:

η o = 1 - A f A t 1 - η f = 1 - 4.10 - 6 4,5.10 - 6 1 - 0,958 → η o = 0,963

Com esse valor, podemos calcular a resistência térmica descrita lá no passo 1, onde teremos:

R t = 1 η o h A t = 1 0,963 ( 34021,5 ) ( 4,5.10 - 6 ) → R t = 6,78   K / W

E, agora, podemos utilizar a equação 8.45b vista nesse capítulo para encontrar a temperatura média de saída. Dessa forma, teremos:

Δ T s a i Δ T e n t = T ∞ - T m , s a i T ∞ - T m , e n t = exp ⁡ - 1 m ˙ c p R t

Como no nosso caso, conhecemos a temperatura da superfície externa e ela é constante, a equação se torna:

T s - T m , s a i T s - T m , e n t = exp ⁡ - 1 m ˙ c p R t

Substituindo os valores conhecidos, chegamos em:

350 - T m , s a i 350 - 290 = exp ⁡ - 1 10 - 4 4179 6,78

350 - T m , s a i 60 = 0,7026 → T m , s a i = 307,8   K

Agora, com a temperatura de saída, conseguimos encontrar a potência dissipada pelo chip, através do calor trocado com a água, dada por:

q = m ˙ T c p T m , s a i - T m , e n t = N m ˙ c p T m , s a i - T m , e n t

Substituindo os valores conhecidos, temos:

q = 50 10 - 4 4179 307,8 - 290 → q = 372   W

Passo 5

Agora, para a letra (b), onde temos uma redução nas dimensões de passo S = 100   μ m e mantendo a largura W = 50   μ m , e com isso, teremos N = 100 microcanais. Nesse caso então, o espaçamento entre os canais será:

δ = S - W = 100.10 - 6 - 50.10 - 6 → δ = 50.10 - 6

Agora devemos repetir os cálculos feitos para a letra (a), então, vamos lá, começando pela área total, como não houve alteração em H e W, a área será a mesma, ou seja:

A t = 4,5.10 - 6   m 2

O diâmetro hidráulico também será o mesmo, e por consequência o número de Reynolds, então teremos:

R e D = 935,7

Teremos também o mesmo valor de Nusselt e coeficiente convectivo, onde teremos:

h = 34021,5   W / m 2 . K

O que será diferente será a eficiência de cada aleta, dada por:

η f = tanh ⁡ m H m H

Onde m é dada por:

m = 2 h k c h δ

Substituindo os valores conhecidos, temos:

m = 2 34021,5 140 50 . 10 - 6 → m = 3117,8

Então a eficiência de cada aleta será:

η f = tanh ⁡ 3117,8 2.10 - 4 3117,8 2.10 - 4 → η f = 0,8878

Passo 6

Agora, com a eficiência da aleta, podemos calcular a eficiência geral de superfície, dada por:

η o = 1 - A f A t 1 - η f = 1 - 4.10 - 6 4,5.10 - 6 1 - 0,8878 → η o = 0,9003

Com esse valor, podemos calcular a resistência térmica descrita lá no passo 1, onde teremos:

R t = 1 η o h A t = 1 0,9003 ( 34021,5 ) ( 4,5.10 - 6 ) → R t = 7,25   K / W

Agora, calculando a temperatura média de saída teremos:

350 - T m , s a i 350 - 290 = exp ⁡ - 1 10 - 4 4179 7,25

350 - T m , s a i 60 = 0,719 → T m , s a i = 306,8   K

Agora, com a temperatura de saída, conseguimos encontrar a potência dissipada pelo chip, através do calor trocado com a água, dada por:

q = m ˙ T c p T m , s a i - T m , e n t = N m ˙ c p T m , s a i - T m , e n t

Substituindo os valores conhecidos, temos:

q = 10 0 10 - 4 4179 30 6 , 8 - 290 → q = 704,4   W

Resposta

a :   T m , s a i = 307,8   K

a :   q = 372   W

b :   T m , s a i = 306,8   K

b :   q = 704,4   W

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