Enunciado

Um túnel de vento de laboratório tem uma parede superior móvel que pode ser ajustada para compensar o crescimento da camada limite, dando gradiente de pressão zero ao longo da seção teste. As camadas limite sobre as paredes são bem representadas por perfis de velocidade de potência 1 / 7 . Na entrada, a seção transversal do túnel é quadrada, com altura H 1 e largura W 1 iguais a 305   m m . Com velocidade de corrente livre U 1 = 26,5   m / s , medições mostram que δ 1 = 12,2   m m e a jusante, δ 6 = 16,6   m m . Calcule a altura das paredes do túnel na seção (6). Determine o comprimento equivalente de placa plana que produziria a espessura de camada limite de entrada. Estime a distância no sentido da corrente entre as seções (1) e (6) no túnel. Considere ar-padrão.

Passo 1

Vamos listar o que a gente precisa fazer:

- Calcular a altura das paredes do túnel na seção (6)

- Achar o comprimento equivalente de placa plana que produziria δ 1 = 12,2   m m

- Estimar a distância no sentido da corrente entre as seções (1) e (6) no túnel.

E enunciado dá umas informações para gente:

- velocidade de corrente livre: U 1 = 26,5   m / s

- ar-padrão: ρ = 1,21 k g / m 3 e μ = 1,81 ⋅ 10 - 5 N ⋅ s / m

- largura e altura em (1): W 1 =     H 1   = 0,305   m

- expessuras da camada limite: δ 1 = 12,2   m m ,   δ 6 = 16,6   m m

- gradiente de pressão zero: p 1 = p 6

- escoamento turbulento de potência 1 / 7 :

u U = y δ 1 7

Vamo começar!

Passo 2

Como temos pressão constante, da equação de Bernoulli a gente tira que:

V 1 = V 6

Aí usando a conservação de massa:

ρ A 1 V 1 = ρ A 6 V 6

Só que essas áreas são as regiões da seção onde consideramos a velocidade uniforme, isso não acontece dentro das camadas limites. Então, podemos reescrever:

A 1 = ( H 1 - 2 δ 1 * ) W 1 - 2 δ 1 * ,             A 6 = ( H 6 - 2 δ 6 * ) ( W 1 - 2 δ 6 * )

Se liga que a gente usou δ * porque estamos no contexto de vazão e que a largura W 1 não muda ao longo do túnel, só a altura.

Voltando a conservação:

ρ A 1 V 1 = ρ A 6 V 6 ∴ A 1 = A 6

( H 1 - 2 δ 1 * ) W 1 - 2 δ 1 * = ( H 6 - 2 δ 6 * ) ( W 1 - 2 δ 6 * )

Isolando H 6 :

H 6 = ( H 1 - 2 δ 1 * ) W 1 - 2 δ 1 * ( W 1 - 2 δ 6 * )   + 2 δ 6 *

Passo 3

Usando a definição de δ * para esse perfil de velocidade:

δ * = ∫ 0 δ 1 - u U d y

u U = y δ 1 7

Vemos que:

δ * = δ 8

Substituindo isso na nossa expressão:

H 6 = H 1 - 2 δ 1 8 W 1 - 2 δ 1 8 W 1 - 2 δ 6 8   + 2 δ 6 8

Substituindo os dados do problema:

H 6 = 0,326   m

Passo 4

Queremos descobrir o comprimento equivalente de uma placa plana para chegar a δ 1 .   Temos que para uma placa plana:

δ x = 0,382 R e x 1 5

Fazendo x = L 1 e isolando L 1 :

L 1 = δ 1 0,382 5 4 U ρ μ 1 4

Substituindo os dados do problema:

L 1 = 0,493   m

Passo 5

Para estimar o comprimento entre (1) e (6), a gente pode estimar o comprimento equivalente da placa plana para chegar a δ 6 :

L 6 = δ 6 0,382 5 4 U ρ μ 1 4 = 0,724   m

E depois fazer a diferença entre eles:

L 1 - 6 = L 6 - L 1 = 0,231   m

Resposta

H 6 = 0,326   m

L 1 = 0,493   m

L 1 - 6 = 0,231   m

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