Enunciado

Um vertedouro é uma obstrução em um escoamento em canal que pode ser calibrado para medir a vazão, como mostra a figura abaixo. A vazão volumétrica Q varia com a gravidade g, com a largura b do vertedouro no sentido perpendicular ao papel e com a altura H da água a montante acima da soleira do vertedouro. Sabendo-se que Q é proporcional a b, use o teorema de pi para encontrar uma relação funcional única Q(g, b , H).

Passo 1

Vamos para mais um desafio da mecânica dos fluidos?

Vamos escrever matematicamente como as coisas são função de outras?

Q = f ( g ,   b , H )

Quais são as unidades bases desses parâmetros?

Q = L 3 T - 1

g = L T - 2

b = L

H = L

Como temos 4 variáveis (n), e temos 2 dimensões bases (LT), tem-se que o número de grupos pi iguais a 7 – 2 = 2 grupos!

Passo 2

Note que com certeza uma relação será a razão entre b e H, porque eles possuem a mesma unidade base, então já fica de olho porque esse cara tem que aparecer no meio da sua resolução como grupo pi.

Π 1 = g a H b Q

Π 2 = b H

Passo 3

Vamos agora fazer as análises dimensionais e assim montar as equações algébricas!!!

Π 1 = g a H b Q

L T - 2 a L b L 3 T - 1 = { M 0 L 0 T 0 }

L : a + b + 3 = 0

T : - 2 a - 1 = 0 → a = - 1 / 2

b = - 3 - a = - 3 + 1 2 = - 5 2

Π 1 = Q g 1 2 H 5 2

Portanto, podemos escrever que:

Q g 1 2 H 5 2 = f b H

Passo 4

Como sabemos que Q ∝ b , podemos reduzir a equação a:

Q b g 1 2 H 3 2

Resposta

Q b g 1 2 H 3 2

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