Enunciado

Você precisará dos resultados do Problema 7-59 para resolver este problema. Uma minúscula partícula de aerossol cai com velocidade terminal constante V. O número de Reynolds é

suficientemente pequeno para que a aproximação do escoamento lento seja válida. Se o tamanho da partícula dobrar, com todos os outros dados iguais, por qual fator a velocidade terminal se elevará? Se a diferença de densidades ρ p - ρ dobrar, com todos os outros dados iguais, por qual fator a velocidade terminal se elevará?

Passo 1

Pra começar, vamos rever o resultado da questão 59 :

V = c o n s t a n t e × ρ p - ρ g d p     2 μ

O enunciado diz que, em um primeiro momento, a gente deve manter constante todas as variáveis, menos a velocidade terminal V e o diâmetro da partícula, d p , este deve ser dobrado e a partir disso devemos verificar o que acontece com a velocidade terminal.

Observando a equanção a cima, podemos escrever a seguinte relação de proporcionalidade:

V ∝ d p     2

Depois o enunciado pede para fazer a mesma coisa, mas dessa vez quem deve dobrar é a diferença das densidades, então podemos escrever:

V ∝ ρ p - ρ

Agora bora colocar a mão na massa!!

Passo 2

Primeiramente, temos:

V ∝ d p     2

Comparando duas situações, podemos escrever:

V 1 V 2 ∝ d p 1     2 d p 2     2

Mas, o diâmetro da particula deve dobrar em relação a primeira situação, logo:

V 1 V 2 ∝ d p 1     2 2 d p 1 2

Arrumando:

V 2 ∝ 2 2 V 1  

Então, se a velocidade deve aumentar em um fator de 2 2 em relação a velocidade inicial!

Passo 3

Agora vamos fazer a mesma coisa, mas com a diferença de densidades:

V ∝ ρ p - ρ

Comparando:

V 1 V 2 ∝ ρ p - ρ 1 ρ p - ρ 2

Agora dobrando a diferença de densidades:

V 1 V 2 ∝ ρ p - ρ 1 2 × ρ p - ρ 1

Arrumando:

V 2 ∝ 2 V 1

A velocidade deve dobrar quando a diferença de densidades também dobra!! Ou seja, ela aumenta em um fator de 2 !

Resposta

No primeiro caso, quando d p dobra V aumenta em um fator de 2 2 = 4 , no segundo caso quando a diferença de densidades dobra, V aumenta em um fator de 2 .

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