Enunciado

São conhecidas duas componentes da velocidade de um campo de escoamento em regime permanente, incompressível: u =   a x +   b x y + c y 2 e v = a x z - b y z 2 onde a ,   b ,   e   c são constantes. Está faltando a componente w . Encontre uma expressão para w como uma função de x ,   y , e z .

Passo 1

Vamos lá! A gente quer veridicar se o campo de velocidade é ou não incompressível, para isso ele tem que satisfazer a equação da continuidade:

∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y + ∂ w ∂ z = 0

Os componentes de velocidade x e y são:

u =   a x +   b x y + c y 2

v = a x z - b y z 2

Mas o componente de velocidade z , w ,é desconhecido!

Passo 2

Mas com a equação da continuidade podemos achar ∂ w / ∂ z   e assim achamos v !!

∂ w ∂ z = - ∂ u ∂ x - ∂ v ∂ y

Agora a gente tem que derivar para poder substituir na equação da continuidade:

Começando pela componente u :

u =   a x +   b x y + c y 2

∂ u ∂ x = a + b y

Agora o componente v :

v = a x z - b y z 2

∂ v ∂ y = - b z 2

Passo 3

Substituindo na equação da continuidade:

∂ w ∂ z = - ( a + b y ) - ( - b z 2 )

Integrando:

∫ ∂ w = ∫ - a - b y + b z 2   ∂ z

v = - a z - b y z + b z 3 3 + c  

Onde c é uma constante! Mas como aqui integramos uma derivada parcial, então podemos escrever:

v = - a z - b y z + b z 3 3 + f ( x , y )  

É isso aê! Achamos nossa componente de velocidade w !

Resposta

v = - a z - b y z + b z 3 3 + f ( x , y )  

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