Enunciado

Água a 20°C escoa para cima a 4 m/s por um tubo de 6 cm de diâmetro. O comprimento do tubo entre os pontos 1 e 2 é de 5 m e o ponto 2 está 3 m acima. Um manômetro de mercúrio, conectado entre 1 e 2, mostra uma leitura h = 135 mm, sendo p1 maior. (a) Qual é a variação de pressão (p1 − p2)? (b) Qual é a perda de carga em metros? (c) A leitura do manômetro é proporcional a perda de carga? Explique. (d) Qual é o fator de atrito do escoamento?

Passo 1

E aí, galera, tudo bem? MecFlu pode parecer difícil, mas cola aqui que eu vou te ajudar!

A primeira ideia que a gente tem que ter da questão é de qual assunto ela faz parte. Esse problema em específico é referente à seção 6.3 do livro, chamada “Perda de carga-fator de atrito”.

Nesse problema, temos água a 20 ° C escoando em tubo inclinado de diâmetro D = 0,06   m . O tubo tem comprimento de 5   m , e pontos 2 está 3   m acima do ponto 1. Há um manômetro de mercúrio indicando uma leitura h = 135   m m .

Pra ilustrar o problema, veja a figura abaixo:

O enunciado nos pede pra calcular a diferença de pressão P 1 - P 2 , a perda de carga, o fator de atrito do escoamento e também nos questiona se A leitura do manômetro é proporcional à perda de carga.

Nos próximos passos, iremos responder todas essas questões. Vem comigo pra gente resolver o problema!

Passo 2

Pra calcular a diferença de pressão, pedida na letra (a) vamos olhar o esquema abaixo, onde adicionamos os pontos A e B:

A partir dessa figura, podemos definir, como base na Estática dos Fluidos, três equações:

P A = P 1 + ρ H 2 O g h

P A = P B + ρ m g h

P B = P 2 + ρ H 2 O g ∆ z

Sendo: ρ H 2 O = 998   k g / m ³ a massa específica da água; e ρ m = 13600   k g / m ³ a massa específica do mercúrio.

Combinando essas equações, a gente fica com:

P 1 + ρ H 2 O g h - ρ m g h - ρ H 2 O g ∆ z = P 2

Resolvendo a equação, temos:

P 1 - P 2 = 998 k g m ³ 9,81 m s ² 3   m + 13600 k g m ³ - 998 k g m ³ 9,81 m s ² 0,135   m

P 1 - P 2 = 46060   P a

Passo 3

Agira, vamos resolver a letra (b).

Pra calcular a perda de carga total no escoamento, devemos usar uma equação originada do balanço de energia mecânica (equação de Bernoulli).

Essa equação relaciona a perda de carga com a queda de pressão e da variação de elevação, da seguinte maneira:

h f = - ∆ z + ∆ P ρ H 2 O g

Sendo ∆ P = P 1 - P 2 = 46060   P a , o gradiente de pressão entre os pontos 1 e 2; e ∆ z = 3   m a variação de elevação entre um ponto a outro do tubo.

Sendo assim:

h f = - 3   m + 46060   P a 998 k g m 3 9,81 m s 2 - 3 m = - 3 m + 4,7   m

h f = 1,7   m

Passo 4

Agira, iremos resolver a letra (c). Queremos descobrir se a perda de carga total, h f é proporcional à leitura do manômetro. Pra isso, vamos comprar as equações que usamos nos Passos anteriores:

P 1 + ρ H 2 O g h - ρ m g h - ρ H 2 O g ∆ z = P 2

h f = - ∆ z + ∆ P ρ H 2 O g

Vamos reorganizar a primeira equação:

P 1 - P 2 - ρ H 2 O g ∆ z = ρ m g h - ρ H 2 O g h

Dividindo tudo por ρ H 2 O g , obtemos:

P 1 - P 2 ρ H 2 O g - ∆ z = ρ m - ρ H 2 O ρ H 2 O h

As devemos lembrar que: P 1 - P 2 = ∆ P   :

h f = ∆ P ρ H 2 O g - ∆ z = ρ m - ρ H 2 O ρ H 2 O h

Ou seja, h f é sim proporcional a h .

Passo 5

Pra finalizar a questão, vamos resolver a letra (d). Para calcular a perda de carga global, usamos a seguinte equação:

h f = f L D v ² 2 g  

Sendo: f o fator de atrito que queremos calcular e L = 5   m o comprimento total do tubo.

Basta então que a gente substitua o valor de h f pra resolver essa parte do problema:

f =   h f D L 2 g v ² = 1,7   m 0,06   m 5   m 2 9,81   m / s ² ( 4   m / s ) ²

f = 0,025

Pronto, matamos a questão!

Resposta

(a) A variação de pressão é P 1 - P 2 = 46060   P

(b) A perda de carga total é h f = 1,7   m

(c) Sim, h f é sim proporcional a h , sendo h f = ρ m - ρ H 2 O ρ H 2 O h

(d) O fator de atrito global f = 0,0 25

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