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Curvas Características

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Teoria Completa

Fala, galera! Neste capítulo, a gente vai entender um pouco melhor o que são as curvas características das bombas, então bora lá!

Se liga nesse exemplo aqui em baixo:

Beleza! Agora imagine que a gente vá fazer um experimento. Eu vou alterar a vazão que passa pela bomba e você vai ver pra mim quanto marca p s e p d , fechado?

Depois de vários pontos, a gente pode juntar tudo numa tabela como essa aqui em baixo:

Antes de tudo, tem umas pressões negativas! Será que a gente errou em alguma coisa? :o

Não erramos não! Ahah Isso é porque estamos medindo a pressão manométrica, ou seja, ela é a diferença entre a pressão absoluta e a atmosférica, lembra? Então, se deu negativo, é porque a pressão no ponto p s é menor que a p a t m .

Agora, vamos ver o que tá acontecendo! Como já esperávamos a pressão de descarga ( p d ) é maior que a pressão de sucção ( p s ), afinal esse é o papel da bomba: aumentar a pressão do fluido.

Pra gente escolher a melhor bomba pro nosso sistema, precisamos saber qual a potência hidráulica ( W ˙ s ) que cada uma fornece. A potência de uma bomba é a taxa de energia mecânica cedida ou retirada do fluido por uma máquina de fluxo.

Definimos a potência como sendo:

W ˙ s = ρ . Q . g . H

Em que Q é a vazão volumétrica, g é a aceleração da gravidade e H representa o aumento de carga proporcionado pelas bombas ou a diminuição de carga em turbinas.

Então, a gente precisa encontrar a carga que a bomba fornece ( H b o m b a ) e, para isso, é só a gente aplicar a equação de Bernoulli entre a sucção e a descarga:

H b o m b a = p d ρ . g + V - d 2 2 . g + z d - p s ρ . g + V - s 2 2 . g + z s

Admitindo que a velocidade do fluido não varia entre os dois pontos:

H b o m b a = p d ρ . g + z d - p s ρ . g + z s

H b o m b a = p d - p s ρ . g + z d - z s

Vamos escolher um ponto para calcular a perda de carga: vamos pegar o ponto em que a vazão equivale a Q = 227   m 3 . h - 1 . Nesse ponto, a gente tem que

H b o m b a = 230   k P a - - 39   k P a 1000   k g . m - 3 . 9,81   m . s - 2 + 0.9   m - 0,3   m

H b o m b a = ~ 28   m

Então, a potência dessa bomba ( W ˙ s ) na vazão de Q = 227   m 3 . h - 1 equivale a:

W ˙ s = ρ . Q . g . H b o m b a

W ˙ s = 1000 k g m ³ . 227 m 3 h 1   h 3600   s . 9,81   m . s - 2 . 28   m ³

W ˙ s = ~ 17,3   k W

Se soubermos ainda quanto de potência o motor da bomba ( W ˙ m ) fornece, podemos calcular qual a eficiência da bomba ( η ). Nessa vazão, sabemos que W ˙ m = 28,5   k W , então:

η = W ˙ s W ˙ m             →             η = 17,3   k W 28,5   k W             →           η = 0,844

Beleza! Se fizermos esses cálculos para cada um dos pontos, a gente pode construir uma curva que mostra o comportamento da carga ( H b o m b a ), da potência ( W ˙ s ) e da eficiência ( η ) com a vazão volumétrica ( Q ). Dá uma olhada em como ficaria:

A curva que mostra o comportamento da carga fornecida pela bomba ( H b o m b a ) com a vazão é a denominada curva característica da bomba! Essa curva geralmente é dada pelo fabricante do equipamento da seguinte maneira:

Nesse gráfico, a gente pode ver curvas para bombas com rotores de diferentes diâmetros, além das curvas de eficiência em tracejado (---).

Nossa função é escolher qual bomba fornece a carga necessária para atender o nosso sistema. Só que, para isso, a gente precisa calcular também a curva característica do sistema!

Pra construir a curva característica do sistema é bem parecido com o que fizemos para a bomba, basta a gente calcular qual a perda de carga total do sistema ( H s i s t ) para diferentes vazões volumétricas ( Q ). Assim, obtemos algo do tipo:

Tendo as duas curvas, a gente consegue comparar ambas e ver em qual ponto elas se cruzam, pois nesse ponto, teremos:

H b o m b a = H s i s t

Esse é o ponto que denominamos ponto de operação. É nesse ponto em que toda a carga necessária pelo sistema é fornecida pela bomba ( N P S H D ).

Em vazões menores, a bomba fornece uma carga maior que a necessária e, em vazões maiores, a bomba não é suficiente para atender a carga do sistema.

Bora ver como funciona isso na prática, então responde aí! ^^

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Exercício Resolvido #1

Apostila de Mecânica dos Fluidos – UFRJ

Selecione uma bomba para um sistema em que a vazão de água é 1750   g p m e a carga a ser adicionada é 120   f t . O fabricante fornece o gráfico de seu catálogo de bombas (Peerless Pump) abaixo:

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Passo 1

Com o gráfico informado pelo fornecedor, a gente por ver as diferentes curvas características para cada um dos diâmetros de rotor e as curvas de rendimento. Além disso, na parte inferior do gráfico, observamos a curva de N P S H R (com escala no eixo da direita).

O enunciado nos pediu uma carga de N P S H D = 120   f t , operando com uma vazão de 1750   g p m . Então, pelo gráfico, temos:

Veja que esse ponto encosta na curva cujo diâmetro do rotor é 13   i n . Esse ponto está próximo à curva de eficiência cujo valor equivale a η = 86 % . Então, a gente pode calcular o trabalho que a bomba efetivamente realiza da seguinte maneira:

η = W ˙ s W ˙ m

W ˙ m = W ˙ s η

Como o valor informado no gráfico é de carga e não potência, temos que calcular a potência do motor ( W ˙ m ):

W ˙ s = ρ . Q . H b o m b a . g

Convertendo a vazão e a carga para o S.I.:

Q = 1750 g a l m i n . 1   m i n 60   s . 3,785.10 - 3   m 3 1   g a l

Q = 0,11   m 3 . s - 1

H b o m b a = 120   f t . 1   m 3,281   f t

H b o m b a = 36,6   m

Assim, temos que:

W ˙ m = 1000   k g . m - 3 . 0,11   m 3 . s - 1 . 36,6   m . 9,81   m . s - 2 0,86

W ˙ m = 45,9   k W

Passo 2

Avaliando ainda a curva de N P S H R nesta vazão:

Temos que:

N P S H R = 15   f t

Resposta

A bomba que apresenta o melhor desempenho segundo as condições do enunciado é a:

6 A E 14   c o m   13   i n   d e   d i â m e t r o   ( r o t o r ) â

Exercício Resolvido #2

FOX, R. W.; MCDONALD, A. T.; PRITCHARD, P. J.; LEYLEGIAN, J. C. Introdução à Mecânica dos Fluidos, 8ª ed. Minas Gerais: Gen LTC, 2011.

Uma bomba centrífuga de 9   i n de diâmetro de rotor girando a 900   r p m com água a 68 o   F gera os seguintes dados:

Trace curvas de desempenho desta bomba; inclua uma curva de eficiência versus a vazão volumétrica. Localize o ponto de melhor eficiência e especifique a capacidade da bomba neste ponto.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Para construirmos a curva da bomba, temos que plotar os dados de carga ( H ) versus vazão volumétrica ( Q ). Beleza! Isso foi informado pra gente já na tabela!

Além disso, foi pedida a curva de eficiência ( η ) e, então, a gente precisa calcular esses valores para cada ponto. Sabemos que a eficiência é definida como:

η = W ˙ s W ˙ m

Pela tabela, a gente consegue diretamente os valores da potência do motor ( W ˙ m ), que é denominada

Precisamos agora calcular a potência da bomba ( W ˙ s ) e a gente sabe que ela é dada por:

W ˙ s = ρ . Q . H . g

Ou seja, para cada conjunto de valores de vazão volumétrica ( Q ) e perda de carga ( H ), teremos uma potência da bomba diferente.

Dessa maneira, a gente conseguirá calcular a eficiência por meio da equação:

η = ρ . Q . H . g W ˙ m

Ao organizar todos os valores numa tabela, temos que:

Agora é só plotar o gráfico com os valores de abscissa x sendo a vazão volumétrica ( Q ) e duas curvas: uma com a carga ( H ) – curva em vermelho - e outra com a eficiência ( η ) – curva em azul:

Essas curvas são interpolações de segundo grau dos dados que temos, ou seja, são parábolas que melhor se aproximam dos nossos dados. Podemos fazer isso no Excel, por exemplo. Como resultado, obtivemos:

H ( Q ) = - 1,062 x 10 - 5 . Q 2 + 6,39 x 10 - 4 . Q + 22,8

η ( Q ) = - 1,752 x 10 - 6 . Q 2 + 0,00237 . Q + 0,0246

O ponto de melhor desempenho é aquele cuja eficiência é máxima. Então, para encontrar o ponto máximo, basta verificar o valor de Q que anula a derivada da função:

d η d Q = 0

d η d Q = - 3,504   x 10 - 6 . Q + 0,00237

Q m a x = 676,4   c f m

Agora, se a gente jogar esse valor na equação da eficiência, teremos que:

η ( Q m a x ) = - 1,752 x 10 - 6 . ( Q m a x ) 2 + 0,00237 . Q m a x + 0,0246

η m a x = - 1,752 x 10 - 6 . 676,4   c f m 2 + 0,00237 . 676,4   c f m + 0,0246

η m a x = 0,826

Para descobrir o respectivo valor da carga, a gente pode jogar a vazão encontrada na equação da carga e assim:

H ( Q m a x ) = - 1,062 x 10 - 5 . ( Q m a x ) 2 + 6,39 x 10 - 4 . Q m a x + 22,8

H m a x = - 1,062 x 10 - 5 . 676,4   c f m 2 + 6,39 x 10 - 4 . ( 676,4   c f m ) + 22,8

H m a x = 18,4   f t

Resposta

As curvas são da seguinte forma:

No ponto de máximo desempenho, temos que:

Q m a x = 676,4   c f m

η m a x = 0,826

H m a x = 18,4   f t

Exercício Resolvido #3

Frank M. White – Mecânica dos Fluidos. 6ª Edição.

(Adaptada) Queremos usar a bomba de 32 " da figura abaixo a 1770   r p m para bombear água a 15 o   C de um reservatório para outro a 36,6   m de altura de 460   m de tubo com diâmetro interno de 16 " com um fator de atrito f = 0,030 . Assuma que ambos reservatórios são abertos para a atmosfera e que a curva da bomba de 32 " segue o seguinte comportamento:

H b o m b a = 149 - 1,55 . Q 2

  1. Qual será o ponto de operação?
  2. Qual o rendimento no ponto de operação?
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Passo 1

Nosso primeiro passo será avaliar com a altura da carga do sistema em questão! A gente sabe que o sistema é composto por dois reservatórios, distando verticalmente 36,6   m um do outro e eles são conectados por 460   m de tubo (diâmetro de 16 " e f = 0,030 ) .

Pela equação de Bernoulli aplicada ao sistema, temos que:

H s i s t e m a = p 1 ρ . g + V - 2 2 2 . g + z 2 - p 1 ρ . g + V - 1 2 2 . g + z 1 + h L T

Como a velocidade do fluido nos reservatórios é desprezível e ambos estão a mesma pressão ( p a t m ) por estarem abertos, a altura de carga do sistema é dada por:

H s i s t e m a = z 2 - z 1 + h t u b o

A perda de carga na tubulação é dada por:

h t u b o = f . L D . V 2 2 . g

Podemos reescrever a expressão em termos da vazão volumétrica e assim:

Q = V . A

V = 4 . Q π . D 2

Substituindo na expressão:

h t u b o = f . L D . 1 2 . g . 4 . Q π . D 2 2