Curvas Características

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Teoria

Fala, galera! Neste capítulo, a gente vai entender um pouco melhor o que são as curvas características das bombas, então bora lá!

Se liga nesse exemplo aqui em baixo:

Beleza! Agora imagine que a gente vá fazer um experimento. Eu vou alterar a vazão que passa pela bomba e você vai ver pra mim quanto marca p s e p d , fechado?

Depois de vários pontos, a gente pode juntar tudo numa tabela como essa aqui em baixo:

Antes de tudo, tem umas pressões negativas! Será que a gente errou em alguma coisa? :o

Não erramos não! Ahah Isso é porque estamos medindo a pressão manométrica, ou seja, ela é a diferença entre a pressão absoluta e a atmosférica, lembra? Então, se deu negativo, é porque a pressão no ponto p s é menor que a p a t m .

Agora, vamos ver o que tá acontecendo! Como já esperávamos a pressão de descarga ( p d ) é maior que a pressão de sucção ( p s ), afinal esse é o papel da bomba: aumentar a pressão do fluido.

Pra gente escolher a melhor bomba pro nosso sistema, precisamos saber qual a potência hidráulica ( W ˙ s ) que cada uma fornece. A potência de uma bomba é a taxa de energia mecânica cedida ou retirada do fluido por uma máquina de fluxo.

Definimos a potência como sendo:

W ˙ s = ρ . Q . g . H

Em que Q é a vazão volumétrica, g é a aceleração da gravidade e H representa o aumento de carga proporcionado pelas bombas ou a diminuição de carga em turbinas.

Então, a gente precisa encontrar a carga que a bomba fornece ( H b o m b a ) e, para isso, é só a gente aplicar a equação de Bernoulli entre a sucção e a descarga:

H b o m b a = p d ρ . g + V - d 2 2 . g + z d - p s ρ . g + V - s 2 2 . g + z s

Admitindo que a velocidade do fluido não varia entre os dois pontos:

H b o m b a = p d ρ . g + z d - p s ρ . g + z s

H b o m b a = p d - p s ρ . g + z d - z s

Vamos escolher um ponto para calcular a perda de carga: vamos pegar o ponto em que a vazão equivale a Q = 227   m 3 . h - 1 . Nesse ponto, a gente tem que

H b o m b a = 230   k P a - - 39   k P a 1000   k g . m - 3 . 9,81   m . s - 2 + 0.9   m - 0,3   m

H b o m b a = ~ 28   m

Então, a potência dessa bomba ( W ˙ s ) na vazão de Q = 227   m 3 . h - 1 equivale a:

W ˙ s = ρ . Q . g . H b o m b a

W ˙ s = 1000 k g m ³ . 227 m 3 h 1   h 3600   s . 9,81   m . s - 2 . 28   m

W ˙ s = ~ 17,3   k W

Se soubermos ainda quanto de potência o motor da bomba ( W ˙ m ) fornece, podemos calcular qual a eficiência da bomba ( η ). Nessa vazão, sabemos que W ˙ m = 28,5   k W , então:

η = W ˙ s W ˙ m             →             η = 17,3   k W 28,5   k W             →           η = 0,844

Beleza! Se fizermos esses cálculos para cada um dos pontos, a gente pode construir uma curva que mostra o comportamento da carga ( H b o m b a ), da potência ( W ˙ s ) e da eficiência ( η ) com a vazão volumétrica ( Q ). Dá uma olhada em como ficaria:

A curva que mostra o comportamento da carga fornecida pela bomba ( H b o m b a ) com a vazão é a denominada curva característica da bomba! Essa curva geralmente é dada pelo fabricante do equipamento da seguinte maneira:

Nesse gráfico, a gente pode ver curvas para bombas com rotores de diferentes diâmetros, além das curvas de eficiência em tracejado (---).

Nossa função é escolher qual bomba fornece a carga necessária para atender o nosso sistema. Só que, para isso, a gente precisa calcular também a curva característica do sistema!

Pra construir a curva característica do sistema é bem parecido com o que fizemos para a bomba, basta a gente calcular qual a perda de carga total do sistema ( H s i s t ) para diferentes vazões volumétricas ( Q ). Assim, obtemos algo do tipo:

Tendo as duas curvas, a gente consegue comparar ambas e ver em qual ponto elas se cruzam, pois nesse ponto, teremos:

H b o m b a = H s i s t

Esse é o ponto que denominamos ponto de operação. É nesse ponto em que toda a carga necessária pelo sistema é fornecida pela bomba ( N P S H D ).

Em vazões menores, a bomba fornece uma carga maior que a necessária e, em vazões maiores, a bomba não é suficiente para atender a carga do sistema.

Bora ver como funciona isso na prática, então responde aí! ^^

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Selecione uma bomba para um sistema em que a vazão de água é 1750   g p m e a carga a ser adicionada é 120   f t . O fabricante fornece o gráfico de seu catálogo de bombas (Peerless Pump) abaixo:

Passo 1

Com o gráfico informado pelo fornecedor, a gente por ver as diferentes curvas características para cada um dos diâmetros de rotor e as curvas de rendimento. Além disso, na parte inferior do gráfico, observamos a curva de N P S H R (com escala no eixo da direita).

O enunciado nos pediu uma carga de N P S H D = 120   f t , operando com uma vazão de 1750   g p m . Então, pelo gráfico, temos:

Veja que esse ponto encosta na curva cujo diâmetro do rotor é 13   i n . Esse ponto está próximo à curva de eficiência cujo valor equivale a η = 86 % . Então, a gente pode calcular o trabalho que a bomba efetivamente realiza da seguinte maneira:

η = W ˙ s W ˙ m

W ˙ m = W ˙ s η

Como o valor informado no gráfico é de carga e não potência, temos que calcular a potência do motor ( W ˙ m ):

W ˙ s = ρ . Q . H b o m b a . g

Convertendo a vazão e a carga para o S.I.:

Q = 1750 g a l m i n . 1   m i n 60   s . 3,785.10 - 3   m 3 1   g a l

Q = 0,11   m 3 . s - 1

H b o m b a = 120   f t . 1   m 3,281   f t

H b o m b a = 36,6   m

Assim, temos que:

W ˙ m = 1000   k g . m - 3 . 0,11   m 3 . s - 1 . 36,6   m . 9,81   m . s - 2 0,86

W ˙ m = 45,9   k W

Passo 2

Avaliando ainda a curva de N P S H R nesta vazão:

Temos que:

N P S H R = 15   f t

Resposta

A bomba que apresenta o melhor desempenho segundo as condições do enunciado é a:

6 A E 14   c o m   13   i n   d e   d i â m e t r o   ( r o t o r )

Exercício Resolvido #2

Uma bomba centrífuga de 9   i n de diâmetro de rotor girando a 900   r p m com água a 68 o   F gera os seguintes dados:

Trace curvas de desempenho desta bomba; inclua uma curva de eficiência versus a vazão volumétrica. Localize o ponto de melhor eficiência e especifique a capacidade da bomba neste ponto.

Passo 1

Para construirmos a curva da bomba, temos que plotar os dados de carga ( H ) versus vazão volumétrica ( Q ). Beleza! Isso foi informado pra gente já na tabela!

Além disso, foi pedida a curva de eficiência ( η ) e, então, a gente precisa calcular esses valores para cada ponto. Sabemos que a eficiência é definida como:

η = W ˙ s W ˙ m

Pela tabela, a gente consegue diretamente os valores da potência do motor ( W ˙ m ), que é denominada

Precisamos agora calcular a potência da bomba ( W ˙ s ) e a gente sabe que ela é dada por:

W ˙ s = ρ . Q . H . g

Ou seja, para cada conjunto de valores de vazão volumétrica ( Q ) e perda de carga ( H ), teremos uma potência da bomba diferente.

Dessa maneira, a gente conseguirá calcular a eficiência por meio da equação:

η = ρ . Q . H . g W ˙ m

Ao organizar todos os valores numa tabela, temos que:

Agora é só plotar o gráfico com os valores de abscissa x sendo a vazão volumétrica ( Q ) e duas curvas: uma com a carga ( H ) – curva em vermelho - e outra com a eficiência ( η ) – curva em azul:

Essas curvas são interpolações de segundo grau dos dados que temos, ou seja, são parábolas que melhor se aproximam dos nossos dados. Podemos fazer isso no Excel, por exemplo. Como resultado, obtivemos:

H ( Q ) = - 1,062 x 10 - 5 . Q 2 + 6,39 x 10 - 4 . Q + 22,8

η ( Q ) = - 1,752 x 10 - 6 . Q 2 + 0,00237 . Q + 0,0246

O ponto de melhor desempenho é aquele cuja eficiência é máxima. Então, para encontrar o ponto máximo, basta verificar o valor de Q que anula a derivada da função:

d η d Q = 0

d η d Q = - 3,504   x 10 - 6 . Q + 0,00237

Q m a x = 676,4   c f m

Agora, se a gente jogar esse valor na equação da eficiência, teremos que:

η ( Q m a x ) = - 1,752 x 10 - 6 . ( Q m a x ) 2 + 0,00237 . Q m a x + 0,0246

η m a x = - 1,752 x 10 - 6 . 676,4   c f m 2 + 0,00237 . 676,4   c f m + 0,0246

η m a x = 0,826

Para descobrir o respectivo valor da carga, a gente pode jogar a vazão encontrada na equação da carga e assim:

H ( Q m a x ) = - 1,062 x 10 - 5 . ( Q m a x ) 2 + 6,39 x 10 - 4 . Q m a x + 22,8

H m a x = - 1,062 x 10 - 5 . 676,4   c f m 2 + 6,39 x 10 - 4 . ( 676,4   c f m ) + 22,8

H m a x = 18,4   f t

Resposta

As curvas são da seguinte forma:

No ponto de máximo desempenho, temos que:

Q m a x = 676,4   c f m

η m a x = 0,826

H m a x = 18,4   f t

Exercício Resolvido #3

(Adaptada) Queremos usar a bomba de 32 " da figura abaixo a 1770   r p m para bombear água a 15 o   C de um reservatório para outro a 36,6   m de altura de 460   m de tubo com diâmetro interno de 16 " com um fator de atrito f = 0,030 . Assuma que ambos reservatórios são abertos para a atmosfera e que a curva da bomba de 32 " segue o seguinte comportamento:

H b o m b a = 149 - 1,55 . Q 2

  1. Qual será o ponto de operação?
  2. Qual o rendimento no ponto de operação?

Passo 1

Nosso primeiro passo será avaliar com a altura da carga do sistema em questão! A gente sabe que o sistema é composto por dois reservatórios, distando verticalmente 36,6   m um do outro e eles são conectados por 460   m de tubo (diâmetro de 16 " e f = 0,030 ) .

Pela equação de Bernoulli aplicada ao sistema, temos que:

H s i s t e m a = p 1 ρ . g + V - 2 2 2 . g + z 2 - p 1 ρ . g + V - 1 2 2 . g + z 1 + h L T

Como a velocidade do fluido nos reservatórios é desprezível e ambos estão a mesma pressão ( p a t m ) por estarem abertos, a altura de carga do sistema é dada por:

H s i s t e m a = z 2 - z 1 + h t u b o

A perda de carga na tubulação é dada por:

h t u b o = f . L D . V 2 2 . g

Podemos reescrever a expressão em termos da vazão volumétrica e assim:

Q = V . A

V = 4 . Q π . D 2

Substituindo na expressão:

h t u b o = f . L D . 1 2 . g . 4 . Q π . D 2 2

h t u b o = f . L D 5 . 8 . Q ² π 2 . g

Logo:

H s i s t e m a = z 2 - z 1 + f . L D 5 . 8 . Q 2 π 2 . g

Passo 2

Antes de substituir todos os dados, vamos converter o diâmetro em unidades S.I.:

D = 16   i n . 0,0254   m 1   i n             →           D = 0 , 4064   m

Substituindo os valores informados pelo enunciado:

H s i s t e m a = 36,6   m + 0,030 . 460   m 0,4064   m 5 . 8 . Q 2 π 2 . 9,81   m . s - 2

H s i s t e m a = 36,6 + 102,8 6 . Q 2

Como a figura utiliza a vazão volumétrica em 10 3   m 3 . h - 1 , podemos reescrever a equação para:

H s i s t e m a = 36,6 + 102,8 6 . Q x 10 3 m 3 h . 1   h 3600   s . 10 3   m 3 1   m 3 2

H s i s t e m a = 36,6 + 7,94 . Q 2

Passo 3

Agora, a gente pode traçar a curva do sistema e ver em que ponto ela intercepta a curva de altura de carga da bomba com 32 " de diâmetro. Comparando as duas curvas ��no olho”, a gente tem:

Mas, para encontrar o valor analiticamente, vamos utilizar a curva fornecida pelo enunciado para a bomba de 32 " :

H b o m b a = 149 - 1,55 . Q 2

O ponto de operação se refere ao ponto em que as curvas se cruzam, então, para encontra-lo a gente pode fazer o seguinte:

H s i s t e m a = H b o m b a

36,6 + 7,94 . Q 2 = 149 - 1,55 . Q 2

Q 2 = 112,4 9,49

Q = 3,44   m 3 . s - 1

Com essa vazão, a altura de carga da bomba equivale a:

H b o m b a = 149 - 1,55   . 3,44   m 3 . s - 1 2

H b o m b a = 131   m

Note que o valor foi equivalente ao que achamos “no olho”! ^^

Passo 4

Pelo gráfico, podemos ver que esse ponto está próximo da curva de rendimento de 82 % :

Logo, o rendimento nesse ponto pode ser admitido como aproximadamente:

η = ~ 0,82

Resposta

  1. O ponto de operação é aquele em que:
  2. Q = 3,44   m 3 . s - 1             e             H b o m b a = 131   m

  3. O rendimento nesse ponto equivale a:

η = ~ 0,82

Exercício Resolvido #4

(Adaptada) Uma bomba Peerless horizontal de carcaça bipartida do tipo 14 A E 12 , com diâmetro de rotor 280   m m e operando com 1750   r p m leva água de um reservatório a outro por tubos de ferro fundido com 61   m de 100   m m e de 61   m de 75   m m montados em série. A diferença de altura entre os reservatórios é de 3   m . Esboce um gráfico da curva de operação do sistema.

Dados: A viscosidade cinemática do fluido é dada por ν = 1,14 x 10 - 6 m 2 . s - 1 e a rugosidade do ferro fundido é ϵ = 2,6 x 10 - 4   m .

Passo 1

Vamos primeiro organizar nossos dados! O sistema possui dois trechos de tubulação de ferro fundido com 61   m de comprimento, tendo um deles 100   m m ( D 1 ) de diâmetro e o segundo, 75   m m ( D 2 ). Além disso, a diferença de altura entre os reservatórios é de Δ z = 3 m .

A curva do sistema nada mais é do que um gráfico de carga do sistema ( H s i s t e m a ) por vazão volumétrica ( Q ). Então, nosso trabalho aqui é calcular H s i s t e m a com um conjunto de valores para Q . Então, bora lá! ^^

Seja o sistema ilustrado abaixo (não muito artístico, mas com carinho ahaha):

Aplicando o balanço de energia entre os dois reservatórios, temos que:

W s + p 1 ρ + α 1 . V - 1 2 2 + g . z 1 = p 2 ρ + α 2 . V - 2 2 2 + g . z 2 + h L T

H b o m b a + p 1 ρ . g + α 1 . V - 1 2 2 . g + z 1 = p 2 ρ . g + α 2 . V - 2 2 2 . g + z 2 + h L T g

H b o m b a = h L T g + p 2 - p 1 ρ . g + α 2 . V - 2 2 - α 1 . V - 1 2 2 . g + ( z 2 - z 1 )

Assumindo que os dois reservatórios são abertos, temos que: p 1 = p 2 = 1 a t m . Além disso, a velocidade com que a altura do líquido no reservatório varia é muito pequena, então desprezamos as velocidades V - 1 e V - 2 .

Com essas considerações:

H b o m b a = h L T g + Δ z

Já conhecemos Δ z e g é a aceleração da gravidade. Precisamos agora encontrar a perda de carga do sistema h L T .

Passo 2

Vamos desprezar os possíveis acidentes do sistema por não terem sido mencionados e calcular somente as perdas de carga das duas tubulações em série.

A gente já viu que a perda de carga em uma tubulação pode ser calculada por:

h t u b o = f . L D . V 2 2