Cálculo de Resistência com Integrais

Teoria Completa

Introdução

Lá atrás, vimos que para um resistor prismático (i.e. cubo, paralelepípedo, cilindro, etc) a resistência R está associada à resistividade ρ através da seguinte expressão:

R = ρ L A

Essa expressão só é válida se a resistividade for uniforme.

E o que acontece se a resistividade não for uniforme?! E se a área da seção transversal não for constante?!

Nesses casos, podemos calcular a resistência total partindo da resistência infinitesimal d R , dada por:

d R = ρ   d r A r

A coordenada r deve ser adotada sempre na direção em que a corrente flui.

Por exemplo, se estivermos trabalhando com um resistor cilíndrico onde a corrente flui do raio interno a , para o raio externo b , então r será a coordenada radial do sistema.

Agora, se no mesmo resistor cilíndrico a corrente flui entre as duas bases do cilindro, podemos usar a coordenada x , ao invés de r .

Esse é o espírito da coisa.

Esse tipo de questão aparece, geralmente, com resistores cilíndricos ou esféricos, e pode ser bem chatinha se você não for malandro (o que não é nosso caso), então vamos dar uma olhada em algumas possibilidades.

Área Transversal Variável e Resistividade Uniforme

Se a resistividade for uniforme, não precisamos nos preocupar com ela na hora da integração. Dessa forma, a resistência infinitesimal será dada por:

d R = ρ d r A r

R = ρ ∫ d r A r

Conforme eu disse anteriormente, esse tipo de questão costuma aparecer com resistores cilíndricos e esféricos.

Assim, se o resistor for cilíndrico, a área A r será dada por:

A r = 2 π r L

Onde L é o comprimento do resistor.

Caso o resistor seja esférico, a área A r será:

A r = 4 π r 2

A ideia é basicamente essa.

Resistividade Não-Uniforme

Se a resistividade não for uniforme, o problema terá, necessariamente, que te informar uma função ρ r que representa a forma de como a resistividade varia de acordo com a coordenada radial r (nos casos de resistores cilíndricos ou esféricos).

Assim, a resistência infinitesimal será dada por:

d R = ρ r d r A r

R = ∫ ρ r d r A r

Com isso já podemos quebrar a cabeça nos exercícios.

Expandir

Exercício Resolvido #1

USP, P2 2010, Questão 2

Um resistor com resistividade ρ , tem a forma de um cilindro oco de comprimento L e raios a e b . Calcule a resistência R e o módulo do vetor densidade de corrente J → no interior do resistor nos casos em que uma diferença de potencial V é aplicada:

a ) entre as bases do cilindro.

b ) entre as superfícies interna de raio a e a externa de raio b .

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Passo 1

a ) entre as bases do cilindro.

Por definição, a resistência de um resistor é dada por:

R = ρ L A

Nesse caso, A será a área da coroa circular de raios a e b .

A = π b 2 - a 2

Portanto:

R = ρ L π b 2 - a 2

Passo 2

Por definição, a densidade de corrente é dada por:

J = I A

Usando a Lei de Ohm, podemos dizer que:

J = V / R A → J = V R A

Lembrando que:

R = ρ L A → R A = ρ L

Logo:

J = V ρ L

Passo 3

b ) entre as superfícies interna de raio a e a externa de raio b .

A ideia aqui é bem parecida com o que fizemos antes, a diferença é que, como a corrente agora flui radialmente, vamos ter que mudar a forma de calcular a resistência.

Vamos começar dividindo o cilindro em camadas cilíndricas de largura d r . Cada cilindro terá resistência d R , dada por:

d R = ρ   d r A r

A r agora será a área lateral do cilindro.

A r = 2 π r L

Logo:

d R = ρ   d r 2 π r L

Pra encontrar uma expressão pra R , precisamos integrar esse cara, onde a < r < b :

R = ρ 2 π L   ∫ a b d r r

R = ρ 2 π L ln ⁡ b a

Passo 4

Pra calcular a densidade de corrente, vamos usar a mesma ideia que usamos anteriormente:

J = I A

J = V / R A → J = V R A

Lembrando que:

R = ρ L A → R A = ρ L

Logo:

J = V ρ L

Resposta

a )

R = ρ L π b 2 - a 2

J = V ρ L

b )

R = ρ 2 π L ln ⁡ b a

J = V ρ L

Exercício Resolvido #2

USP, P2 2015, Questão 1

Considere uma camada esférica condutora de raio interno a e raio externo b , conforme a figura.

A resistividade da camada cresce linearmente com a distância r ao centro O , sendo dada por

ρ r = α r ,

Onde α é uma constante positiva.

a ) Determine a dimensão da constante α no Sistema Internacional de Unidades.

b ) Calcule a resistência elétrica da camada esférica na direção radial.

c ) Uma diferença de potencial V   >   0 é aplicada entre as duas superfícies. Supondo que o potencial maior seja o da superfície interna, calcule a corrente e o vetor densidade de corrente.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

a ) Determine a dimensão da constante α no Sistema Internacional de Unidades.

Vambora!

O α aparece na fórmula da resistividade dada pelo problema, certo?

ρ r = α r

A única coisa que temos que fazer é analisar as dimensões que sabemos aqui.

ρ r = Ω ∙ m

r = m

Logo:

ρ r = α r

Ω ∙ m = α ∙ m

α = Ω

Logo, a dimensão de α é Ohm.

Passo 2

b ) Calcule a resistência elétrica da camada esférica na direção radial.

Como essa geometria é diferente da qual estamos acostumados, vamos começar pensando em uma camada infinitesimal, de resistência d R , espessura d r e área 4 π r 2 . Pela definição de resistência:

d R = ρ d r 4 π r 2

Agora ficou mais tranquilo... só temos que integrar esse cara nos limites a < r < b .

R = ∫ a b ρ d r 4 π r 2

O problema já nos disse que ρ r = α r , logo, substituindo na expressão acima:

R = ∫ a b α r d r 4 π r 2

R = α 4 π ∫ a b d r r

R = α 4 π ln ⁡ b a

Passo 3

c ) Uma diferença de potencial V   >   0 é aplicada entre as duas superfícies. Supondo que o potencial maior seja o da superfície interna, calcule a corrente e o vetor densidade de corrente.

Opa! Pra calcular a corrente ficou tranquilo, porque já temos a resistência e o problema falou da diferença de potencial V .

Então é só usar a Lei de Ohm e ser feliz.

I = V R = V α 4 π ln ⁡ b a

I = 4 π V α ln ⁡ b a

Passo 4

Se o potencial maior é o da superfície interna, isso quer dizer que a corrente flui da superfície interna para a superfície externa... isso que dizer que o vetor densidade de corrente J → r vai estar na direção radial, de dentro para fora.

Por definição, a densidade de corrente é dada por:

J = I A

Como aqui a área vai depender do raio A = 4 π r 2 , basta substituir isso na fórmula acima.

Logo:

J → r = I 4 π r 2   r ^

Pra finalizar, basta substituir aqui a expressão que encontramos para a corrente ali em cima.

J → r = 1 4 π r 2   4 π V α ln ⁡ b a   r ^

Simplificando:

J → r = V α ln ⁡ b a r 2   r ^

Resposta

a )

A dimensão de α é Ohm Ω .

b )

R = α 4 π ln ⁡ b a

c )

I = 4 π V α ln ⁡ b a

J → r = V α ln ⁡ b a r 2   r ^

Exercício Resolvido #3

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 2 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2006, pp 162-35

Na figura abaixo uma corrente elétrica atravessa um tronco de cone circular reto de resistividade 731 Ω . m , raio menor a = 2,00 m m , raio maior b = 2,30 m m e comprimento L = 1,94 c m . A densidade de corrente é uniforme ao longo de uma seção reta perpendicular ao eixo do objeto. Qual é a resistência do objeto?