Cálculo de Resistência com Integrais

Teoria Completa

Introdução

Lá atrás, vimos que para um resistor prismático (i.e. cubo, paralelepípedo, cilindro, etc) a resistência R está associada à resistividade ρ através da seguinte expressão:

R = ρ L A

Essa expressão só é válida se a resistividade for uniforme.

E o que acontece se a resistividade não for uniforme?! E se a área da seção transversal não for constante?!

Nesses casos, podemos calcular a resistência total partindo da resistência infinitesimal d R , dada por:

d R = ρ   d r A r

A coordenada r deve ser adotada sempre na direção em que a corrente flui.

Por exemplo, se estivermos trabalhando com um resistor cilíndrico onde a corrente flui do raio interno a , para o raio externo b , então r será a coordenada radial do sistema.

Agora, se no mesmo resistor cilíndrico a corrente flui entre as duas bases do cilindro, podemos usar a coordenada x , ao invés de r .

Esse é o espírito da coisa.

Esse tipo de questão aparece, geralmente, com resistores cilíndricos ou esféricos, e pode ser bem chatinha se você não for malandro (o que não é nosso caso), então vamos dar uma olhada em algumas possibilidades.

Área Transversal Variável e Resistividade Uniforme

Se a resistividade for uniforme, não precisamos nos preocupar com ela na hora da integração. Dessa forma, a resistência infinitesimal será dada por:

d R = ρ d r A r

R = ρ ∫ d r A r

Conforme eu disse anteriormente, esse tipo de questão costuma aparecer com resistores cilíndricos e esféricos.

Assim, se o resistor for cilíndrico, a área A r será dada por:

A r = 2 π r L

Onde L é o comprimento do resistor.

Caso o resistor seja esférico, a área A r será:

A r = 4 π r 2

A ideia é basicamente essa.

Resistividade Não-Uniforme

Se a resistividade não for uniforme, o problema terá, necessariamente, que te informar uma função ρ r que representa a forma de como a resistividade varia de acordo com a coordenada radial r (nos casos de resistores cilíndricos ou esféricos).

Assim, a resistência infinitesimal será dada por:

d R = ρ r d r A r

R = ∫ ρ r d r A r

Com isso já podemos quebrar a cabeça nos exercícios.

Expandir

Exercício Resolvido #1

USP, P2 2010, Questão 2

Um resistor com resistividade ρ , tem a forma de um cilindro oco de comprimento L e raios a e b . Calcule a resistência R e o módulo do vetor densidade de corrente J → no interior do resistor nos casos em que uma diferença de potencial V é aplicada:

a ) entre as bases do cilindro.

b ) entre as superfícies interna de raio a e a externa de raio b .

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Passo 1

a ) entre as bases do cilindro.

Por definição, a resistência de um resistor é dada por:

R = ρ L A

Nesse caso, A será a área da coroa circular de raios a e b .

A = π b 2 - a 2

Portanto:

R = ρ L π b 2 - a 2

Passo 2

Por definição, a densidade de corrente é dada por:

J = I A

Usando a Lei de Ohm, podemos dizer que:

J = V / R A → J = V R A

Lembrando que:

R = ρ L A → R A = ρ L

Logo:

J = V ρ L

Passo 3

b ) entre as superfícies interna de raio a e a externa de raio b .

A ideia aqui é bem parecida com o que fizemos antes, a diferença é que, como a corrente agora flui radialmente, vamos ter que mudar a forma de calcular a resistência.

Vamos começar dividindo o cilindro em camadas cilíndricas de largura d r . Cada cilindro terá resistência d R , dada por:

d R = ρ   d r A r

A r agora será a área lateral do cilindro.

A r = 2 π r L

Logo:

d R = ρ   d r 2 π r L

Pra encontrar uma expressão pra R , precisamos integrar esse cara, onde a < r < b :

R = ρ 2 π L   ∫ a b d r r

R = ρ 2 π L ln ⁡ b a

Passo 4

Pra calcular a densidade de corrente, vamos usar a mesma ideia que usamos anteriormente:

J = I A

J = V / R A → J = V R A

Lembrando que:

R = ρ L A → R A = ρ L

Logo:

J = V ρ L

Resposta

a )

R = ρ L π b 2 - a 2

J = V ρ L

b )

R = ρ 2 π L ln ⁡ b a

J = V ρ L

Exercício Resolvido #2

USP, P2 2015, Questão 1

Considere uma camada esférica condutora de raio interno a e raio externo b , conforme a figura.

A resistividade da camada cresce linearmente com a distância r ao centro O , sendo dada por

ρ r = α r ,

Onde α é uma constante positiva.

a ) Determine a dimensão da constante α no Sistema Internacional de Unidades.

b ) Calcule a resistência elétrica da camada esférica na direção radial.

c ) Uma diferença de potencial V   >   0 é aplicada entre as duas superfícies. Supondo que o potencial maior seja o da superfície interna, calcule a corrente e o vetor densidade de corrente.

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Passo 1

a ) Determine a dimensão da constante α no Sistema Internacional de Unidades.

Vambora!

O α aparece na fórmula da resistividade dada pelo problema, certo?

ρ r = α r

A única coisa que temos que fazer é analisar as dimensões que sabemos aqui.

ρ r = Ω ∙ m

r = m

Logo:

ρ r = α r

Ω ∙ m = α ∙ m

α = Ω

Logo, a dimensão de α é Ohm.

Passo 2

b ) Calcule a resistência elétrica da camada esférica na direção radial.

Como essa geometria é diferente da qual estamos acostumados, vamos começar pensando em uma camada infinitesimal, de resistência d R , espessura d r e área 4 π r 2 . Pela definição de resistência:

d R = ρ d r 4 π r 2

Agora ficou mais tranquilo... só temos que integrar esse cara nos limites a < r < b .

R = ∫ a b ρ d r 4 π r 2

O problema já nos disse que ρ r = α r , logo, substituindo na expressão acima:

R = ∫ a b α r d r 4 π r 2

R = α 4 π ∫ a b d r r

R = α 4 π ln ⁡ b a

Passo 3

c ) Uma diferença de potencial V   >   0 é aplicada entre as duas superfícies. Supondo que o potencial maior seja o da superfície interna, calcule a corrente e o vetor densidade de corrente.

Opa! Pra calcular a corrente ficou tranquilo, porque já temos a resistência e o problema falou da diferença de potencial V .

Então é só usar a Lei de Ohm e ser feliz.

I = V R = V α 4 π ln ⁡ b a

I = 4 π V α ln ⁡ b a

Passo 4

Se o potencial maior é o da superfície interna, isso quer dizer que a corrente flui da superfície interna para a superfície externa... isso que dizer que o vetor densidade de corrente J → r vai estar na direção radial, de dentro para fora.

Por definição, a densidade de corrente é dada por:

J = I A

Como aqui a área vai depender do raio A = 4 π r 2 , basta substituir isso na fórmula acima.

Logo:

J → r = I 4 π r 2   r ^

Pra finalizar, basta substituir aqui a expressão que encontramos para a corrente ali em cima.

J → r = 1 4 π r 2   4 π V α ln ⁡ b a   r ^

Simplificando:

J → r = V α ln ⁡ b a r 2   r ^

Resposta

a )

A dimensão de α é Ohm Ω .

b )

R = α 4 π ln ⁡ b a

c )

I = 4 π V α ln ⁡ b a

J → r = V α ln ⁡ b a r 2   r ^

Exercício Resolvido #3

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 2 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2006, pp 162-35

Na figura abaixo uma corrente elétrica atravessa um tronco de cone circular reto de resistividade 731 Ω . m , raio menor a = 2,00 m m , raio maior b = 2,30 m m e comprimento L = 1,94 c m . A densidade de corrente é uniforme ao longo de uma seção reta perpendicular ao eixo do objeto. Qual é a resistência do objeto?

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Passo 1

Então, pessoal! Temos mais um condutor, dessa vez em forma de tronco de cone.

Os dados foram:

ρ = 731 Ω . m

a = 2,00 m m

b = 2,30 m m

L = 1,94 c m

Só com isso a gente consegue calcular? Acho que sim, né? Vamos lá!

Passo 2

A gente sabe, pela Lei de Ohm, que R = ρ L A .

Como a corrente ta fluindo entre as bases, deveremos usar:

d R = ρ ∫ d x A x

Mas e essa área em função de x aí como a gente calcula?

Cara, como o condutor diminui de raio linearmente fica até fácil de calcular, e com uma função bem tranquila, de 1° grau mesmo.

r = c x + d

É só achar essas constantes. Como a gente faz isso? Substituindo valores que a gente já sabe, as extremidades.

Considerando a origem , ou seja, x = 0 no ponto em que a seção tem raio a , teremos:

a = c . 0 + d

d = a

Quando x = L , teremos:

b = c . L + a

c = b - a L

Logo

r x = b - a L x + a

Passo 3

Como A x = π r x ² , teremos que:

A x = π . b - a L x + a ²

Agora usando a nossa integral linda lá, teremos:

R = ρ ∫ d x π . b - a L x + a ²

R = ρ π ∫ 0 L d x b - a L x + a ²

Vixe! Que feio! Mas lembra que isso aí era algo do tipo c x + d

R = ρ π ∫ 0 L d x c x + d ²

R = - ρ π . 1 c   . 1 c x + d 0 L = - ρ π . 1 b - a L . 1 b - a + a - 1 a = - ρ . L b - a π 1 b - 1 a

R = ρ L π b a

Substituindo os valores, encontraremos:

R = 9,81.10 5 Ω

Resposta

R = 9,81.10 5 Ω

Exercício Resolvido #4

USP, P2 2014, Questão 1

A região entre duas cascas esféricas condutoras concêntricas de raios a e b com b > a é preenchida com um material de resistividade elétrica ρ r = C r 2 , onde r é a distância até o centro O das cascas esféricas e C é uma constante.

Ligando-se uma bateria às cascas esféricas como na figura observa-se uma corrente I no sentido indicado.

  1. Calcule o vetor densidade de corrente J → na região entre as cascas a < r < b .
  2. Usando a lei de Ohm, determine o vetor campo elétrico entre as cascas esféricas.
  3. Calcule a resistência desse sistema em função de C , a e b .
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Passo 1

  1. Calcule o vetor densidade de corrente J → na região entre as cascas a < r < b .
  2. Sabendo que a corrente sai da placa maior da fonte (ali na esquerda da figura), corre o circuito e volta para a placa menor, a gente consegue ver que a corrente vai fluir da casca menor para a casca maior.

    Beleza! Além disso, a densidade de corrente está relacionada com a corrente através da seguinte equação:

    I = ∫ S   J → ∙ d A →

    Agora é só resolver a integral e acabou!

    Já sabemos que a resistividade depende de r ... logo, a densidade de corrente também vai depender de r .

    I = ∫ S   J r d A = J r ∫ S d A

    A integral ∫ S d A vai ser exatamente a área da superfície S , de raio r . Portanto:

    I = J r 4 π r 2

    J r = I 4 π r 2

    Ah! Você só não pode esquecer de um detalhe muito importante... o problema pediu pra calcular o vetor densidade de corrente. Então faltou especificarmos a direção e o sentido da corrente.

    A parada é que nós acabamos falando disso aqui em cima. Quando falamos que a corrente vai fluir da casca esférica menor para a casca esférica maior, no fundo nós falamos que a densidade de corrente tem a direção radial, apontando pra fora... do mesmo jeito que representamos na última figura.

    Portanto:

    J → r = I 4 π r 2   r ^

    Passo 2

  3. Usando a lei de Ohm, determine o vetor campo elétrico entre as cascas esféricas.
  4. Vamos lá! A lei de Ohm nos permite relacionar a densidade de corrente com o campo elétrico através da seguinte equação:

    J → = E → ρ

    E → = ρ J →

    Onde ρ é a resistividade. Agora ficou fácil para nós!

    Só vamos ter o trabalho de substituir o que o problema nos disse e o que achamos no passo 1.

    E → = C r 2 I 4 π r 2   r ^  

    E → = C I 4 π   r ^

    Passo 3

  5. Calcule a resistência desse sistema em função de C , a e b .

Beleza... o melhor caminho pra calcular essa resistência é através da relação:

V = R I

Mas pra isso nós temos que encontrar a diferença de potencial V . Pô! Mas na letra (b) nós calculamos o campo elétrico, certo?

Show! Podemos relacionar o campo elétrico E → com o potencial V pela expressão:

V = - ∫ E → ∙ d r → = - ∫ a b C I 4 π   d r = - C I 4 π ∫ a b d r  

V = C I b - a 4 π

Voltando pra nossa primeira relação:

R = V I

R = C b - a 4 π

Resposta

  1. J → r = I 4 π r 2 r ^

  2. E → = C I 4 π   r ^

R = C b - a 4 π

Exercício Resolvido #5

Sears & Zemansky, Young & Freedman, Física III, Eletromagnetismo, Volume 3, 12˚ ed., São Paulo: Addison Wesley, 2009, Problema 25.64, pp. 164.

A região entre duas esferas concêntricas condutoras com raios a e b > a está preenchida por um material condutor com resistividade ρ constante.

a) Mostre que a resistência entre as esferas é dada por

R = ρ 4 π 1 a - 1 b .

b) Deduza uma expressão para a densidade de corrente em função do raio em termos da diferença de potencial V a b entre as esferas.

c) Mostre que o resultado da parte (a) se reduz a

R = ρ L A

quando a distância entre as esferas L = b - a é pequena.

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Passo 1

a) A situação que a gente tem nesse caso é dado na Figura abaixo. Se a corrente atravessa a região entre as esferas condutoras no sentido radial, então ela atravessa uma área de A = 4 π r 2 e um elemento d r de comprimento.

Por isso, ao atravessar esse comprimento d r com área A = 4 π r 2 , a resistência oferecida à corrente nesse trajeto é dada por

d R = ρ d r 4 π r 2     .

Agora, para sabermos a resistência total, temos que integrar de a , raio da esfera interna, até b , que é o raio da esfera externa e isso nos dá que

R = ρ 4 π ∫ a b d r r 2     ⇒   R = ρ 4 π 1 a - 1 b .

Simplificando um pouco mais a expressão anterior, temos

R = ρ 4 π b - a a b .

Passo 2

b) Sabemos que a densidade J de corrente é dada por J = I / ( 4 π r 2 ) , sendo que r ( a ≤ r ≤ b ) é o raio de superfície esférica através da qual a corrente I passa.

Mas, como I = V a b / R e temos a resistência dada no item (a), a densidade de corrente pode ser reescrita como

J = I A = 1 4 π r 2     V a b R = V a b 4 π r 2 4 π a b ρ b - a     ,

expressão que simplificada resulta em

J = I A = V a b a b ρ b - a r 2     .

Passo 3

c) Fazendo a distância L = b - a pequena, temos que a resistência total R é dada por

R = ρ L 4 π a a + L ≈ ρ L 4 π a 2 = ρ L A i n t     ,

em que A i n t = 4 π a 2 é a área da esfera interna.

Resposta

  1. D e m o n s t r a ç ã o   n o   P a s s o   1   ;
  2. J = I A = V a b a b ρ b - a r 2   ;
  3. R = ρ L 4 π a a + L ≈ ρ L 4 π a 2 = ρ L A i n t     .

Exercício Resolvido #6

Sears & Zemansky, Young & Freedman, Física III, Eletromagnetismo, Volume 3, 12˚ ed., São Paulo: Addison Wesley, 2009, Problema 25.76, pp. 164.

Um cilindro de comprimento L = 1,50   m e raio r = 1,10   c m é feito de uma mistura complexa de materiais. Sua resistividade depende da distância x da extremidade esquerda e obedece à fórmula

ρ x = a + b x 2   ,

em que a e b são constantes. Na extremidade esquerda, a resistividade é de 2,25   ×   10 - 8   Ω . m , e a do lado direito é de 8,50   × 10 - 8   Ω . m .

  1. Qual é a resistência desse bastão?
  2. Qual é o campo elétrico na metade do seu comprimento, se ele carregar uma corrente de 1,75   A ?
  3. Se cortarmos o bastao em dois segmentos de 75,0   c m , qual é a resistência de cada metade?
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Passo 1

a) De acordo com a Figura abaixo, a resistência infinitesimal d R pode ser escrita como

d R = ρ x d x A = a + b x 2 d x π r 2   .

Integrando em todo o comprimento L do cilindro, temos

R = 1 π r 2 ∫ 0 L a + b x 2 d x   ,

onde tiramos o r da integral, pois esse valor é fixo ao longo de todo o cilindro. Ok? Fica atento, porque se fosse um tronco de cone, por exemplo, esse raio poderia variar ao longo do eixo O x . Mas aqui neste caso, r é fixo, o que facilita nossa vida…

Continuando com a integral acima, quando a resolvemos, obtemos que a resistência total do cilindro é

R = 1 π r 2 a L + b L 3 3     .

Agora, repara que a gente não conhece os valores das constantes a e b . Para encontrá-los, sabemos, pelo enunciado, que

ρ x = 0 = 2,25   ×   10 - 8   Ω . m = a

e que

ρ x = L = 8,50   × 10 - 8   Ω . m = a + b L 2   .

Resolvendo a última equação acima utilizando o valor de a obtido com ρ x = 0 = a , temos

a = 2,25   ×   10 - 8   Ω . m     ;     b = 2,78   ×   10 - 8   Ω . m   .

Substituindo esses valores na expressão para a resistência R , encontramos seu valor, que é

R = 1,71   ×   10 - 4   Ω   .