Resistência e Resistividade
Teoria
Resistência
Se medirmos a corrente resultante ao aplicarmos uma diferença de potencial em um condutor, podemos obter a resistência de tal material, que será dada por:
A resistência é uma medida do quanto um certo material resiste à passagem de cargas nele. É medida em Ohms e representada pela letra ômega .
A grande maioria dos resistores que vamos ver aqui são ôhmicos, ou seja, a resistência não varia com a diferença de potencial. Nesse caso, a relação acima se chama Lei de Ohm e se analisarmos um gráfico da diferença de potencial em função da corrente , veremos que o gráfico que é uma reta, com coeficiente angular .
A resistência é o que explica o porquê de barras de mesmas dimensões, mas de materiais diferentes, apresentarem resultados diferentes quando submetidas a uma mesma diferença de potencial.
Quando em um circuito, um condutor que tem a função de introduzir uma certa resistência é denominado resistor. Ainda vamos ver muito sobre isso quando falarmos de circuitos!!
Resistividade
A resistividade é a razão entre o módulo do campo elétrico num elemento de circuito e o módulo da densidade de corrente:
A unidade de medida da resistividade é “Ohm metro” .
Quanto maior a resistividade, menor a tendência do elemento de circuito de deixar passar os elétrons.
Mas como a resistividade e a resistência estão ligadas?!
Atenção: demonstração importante à frente ;)
Então vamos lá, vamos imaginar um resistor em forma de prisma ligado aos fios do circuito:
Dado que a resistência é uma medida do quanto o elemento resiste, você há de concordar comigo que, se aumentarmos o seu comprimento (mantendo constante), a resistência vai aumentar, correto? É como se você estivesse num engarrafamento na Av. Brasil e alguém dobrasse ela de comprimento. Fica duas vezes mais irritante/resistente cruzar ela.
Portanto é razoável dizer que a resistência é proporcional ao comprimento :
Analogamente, se nós aumentarmos a área de seção reta (mantendo constante), você deve concordar que a resistência diminui, pois existe mais espaço para os elétrons passarem. Justo?
Então podemos dizer que a resistência é inversamente proporcional à :
Se ela é proporcional à essas duas coisas, então é proporcional ao produto delas:
Além disso, quando duas coisas são proporcionais, temos que existe uma constante de proporcionalidade entre elas. Essa constante é a resistividade:
Essa fórmula é bastante importante, e muitas vezes ela não vem no formulário!!! Lembrando que ela só é válida se o resistor for um prisma (i.e. cubo, paralelepípedo, cilindro, etc).
Diferença entre Resistência e Resistividade
A resistência é uma propriedade que depende da resistividade e da sua geometria.
Já a resistividade é uma propriedade somente do material. Só pra mostrar um exemplo a resistividade do cobre é e a do níquel é .
Condutividade
A condutividade é o recíproco da resistividade, e é definida por:
Dessa forma:
Essa equação acima é outra forma de se escrever a lei de Ohm!
Se a resistividade é a propriedade do material que diz o quanto ele dificulta a passagem de corrente, a condutividade é a propriedade que diz a facilidade desse material permitir a passagem de corrente. Quanto maior a condutividade, melhor condutor é o material.
A unidade de condutividade no S.I. é .
Variação da Resistividade em Metais
A maior parte das propriedades físicas varia de acordo com a temperatura. Acontece que, na maioria dos casos, nós simplesmente ignoramos essa variação.
Um dos casos que devemos levar em conta é quando essa variação de temperatura afeta a resistividade de um condutor, já que isso influi diretamente na forma como a corrente o atravessa.
Para os metais, em geral, podemos dizer que a resistividade varia linearmente com a variação de temperatura. Essa relação é dada por:
Onde e são, respectivamente, a resistividade e a temperatura iniciais, e e são, respectivamente, a resistividade e temperatura finais.
Geralmente, a temperatura usada para referência é , ou .
Como a expressão acima trabalha com a variação de temperatura , nesse caso, você pode usar a escala Kelvin ou Celsius, pode ficar tranquilo.
O termo é chamado de coeficiente de temperatura da resistividade, e seus valores são tabelados, variando de acordo com o material. A unidade de medida de é .
Variação da Resistência em Metais
Esse tópico é só pra chamar a atenção pra um detalhe meio bobo, mas só pra não correr o risco de bater aquele branco depois.
Acabamos de ver como a resistividade varia com a temperatura, certo?
Anteriormente, vimos também que a resistência e a resistividade de um condutor (de área transversal constante) estão relacionadas por:
Quando um condutor passa por uma determinada variação de temperatura, tanto o seu comprimento , quanto a sua área transversal variam muito pouco.
Admitindo que tanto , quanto permaneçam constantes, podemos dizer que, assim como a resistividade, a resistência varia com a temperatura da seguinte forma:
Onde e são, respectivamente, as resistências inicial e final.
Ok, então vamos lá praticar?
Diferença entre Resistência e Resistividade
Condutividade
Variação da Resistividade em Metais
Variação da Resistência em Metais
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
UERJ- Lista de Exercícios sobre Correntes Elétricas.
A figura é o gráfico corrente versus diferença de potencial para um material. Qual é a resistência do material?
Passo 1
Para qualquer material condutor, temos que a cada ponto , para um condutor ôhmico, temos que a resistência é constante, e no caso de um gráfico por é inclinação da reta. No gráfico mostrado, que é por , temos que a resistência será:
Resposta
Exercício Resolvido #2
UFRJ, PF 2014.2, ME 8
Uma barra de cobre cilíndrica, de resistência elétrica , comprimento e seção reta , é comprimida para a metade do seu comprimento original, sem que seu volume se altere.
Pode-se afirmar que o novo valor de sua resistência elétrica é:
Passo 1
A resistência , por definição é dada por:
Precisamos primeiro encontrar as relações para e . Mas como, ao ser comprimida, o seu volume não se altera, podemos dizer que:
Onde , logo:
Portanto, a nova resistência será dada por:
A opção certa é a letra .
Resposta
Exercício Resolvido #3
UERJ- Lista de Exercícios sobre Corrente Elétrica.
Quando são aplicados entre as extremidades de um fio que possui de comprimento e de raio, a densidade de corrente é igual a .
Determine a resistividade do fio.
Passo 1
Bom, o problema nos dá a voltagem , o comprimento do fio e o raio do mesmo, além da densidade de corrente .
Como ele está pedindo a resistividade do fio, temos que dar um jeito de ligar todas essas coisas.
A resistividade do fio é relacionada com a resistência através dessa fórmula:
Como o problema nos deu e nós conseguimos encontrar a área através do raio que o problema nos deu, temos que dar um jeito de encontrar o valor de .
Passo 2
Temos que:
Show de bola! Nós temos e não temos ... mas o problema falou em densidade de corrente , então nós só temos que lembrar que:
Substituindo na equação que define a resistência, teremos:
Antes de sair tacando os valores aqui, vamos jogar na fórmula da resistividade que encontramos ali em cima. ;)
Passo 3
Substituindo a fórmula da resistência que encontramos no Passo 2:
Simplificando isso aqui, teremos:
Onde:
;
;
;
Logo:
Aqui vai uma dica importante, tá vendo que, organizando tudo pra só depois substituir os valores nós acabamos simplificando um pouco a nossa vida, não tendo que calcular a área da seção transversal do fio?
Eu sempre achei uma boa, principalmente em física, fazer isso pra resolver os problemas... então fica a dica.
Resposta
Exercício Resolvido #4
Halliday/ Resnick, Fundamentos da Física Volume 3, 8ª ed. LTC, Cap. 26, pp. 160-15
Um fio de Nichrome (uma liga de níquel, cromo e ferro muito usada em elementos de aquecimento) tem de comprimento e de seção reta e conduz uma corrente de quando uma diferença de potencial de é aplicada a suas extremidades.
Calcule a condutividade do Nichrome.
Passo 1
Ok, pra calcular a condutividade, precisamos começar calculando a resistividade.
Pra começar, vamos usar a corrente e a diferença de potencial que o problema forneceu pra calcularmos a resistência e, a partir disso, calculamos a resistividade, beleza?
A resistência é dada por:
Onde:
Logo:
Passo 2
A resistência está associada com resistividade através da equação:
Assim, a resistividade será:
Onde:
Logo:
Passo 3
Finalmente, a condutividade será:
Resposta
Exercício Resolvido #5
UFRJ, PF 2015.1, ME 6
Três resistores cilíndricos circulares ôhmicos, 1, 2 e 3, são construídos com o mesmo material, de resistividade conhecida . O resistor 1 tem comprimento e área de seção reta , o resistor 2 tem comprimento e área de seção reta , enquanto o resistor 3 tem comprimento e área de seção reta .
Se cada um desses resistores for submetido a uma mesma diferença de potencial entre suas extremidades, podemos afirmar, sobre os módulos das densidades de corrente que fluem ao longo deles, que
.
.
.
.
.
Passo 1
A densidade de corrente, por definição, é dada por:
A corrente no resistor está associada com a resistência por , logo:
Por definição, a resistência é dada por:
Substituindo isso na expressão de , teremos:
Finalmente:
Agora podemos cair dentro do problema.
Passo 2
Vamos escrever as densidades de corrente de cada material, ok?
- Resistor 1:
- Resistor 2:
- Resistor 3:
O resistor 1 possui comprimento e área transversal , logo:
O resistor 2 tem comprimento e área de seção reta , logo:
O resistor 3 tem comprimento e área de seção reta , logo:
Assim, as três densidades de corrente estão associadas por:
A resposta certa é a letra .
Resposta
.
Exercício Resolvido #6
Halliday/ Resnick, Fundamentos da Física Volume 3, 8ª ed. LTC, Cap. 26, pp. 165-72
Os enrolamentos de cobre de um motor têm uma resistência de a quando o motor está frio. Depois de o motor trabalhar durante várias horas, a resistência aumenta para .
Qual é a nova temperatura dos enrolamentos? Suponha que as dimensões dos enrolamentos não variem.
Dado: .
Passo 1
Como as dimensões dos enrolamentos não variam, a resistência varia com a temperatura da seguinte forma:
Assim, a nova temperatura dos enrolamentos será:
Onde:
Logo:
Resposta
Exercício Resolvido #7
Halliday/ Resnick, Fundamentos da Física Volume 3, 8ª ed. LTC, Cap. 26, pp. 161-25
As especificações de uma lâmpada de lanterna são e (os valores da corrente e tensão de trabalho, respectivamente).
Se a resistência do filamento de tungstênio da lâmpada à temperatura ambiente é , qual é a temperatura do filamento quando a lâmpada está acesa?
Dado: .
Passo 1
A resistência do filamento quando a lâmpada está acesa é dada por:
Onde:
Logo:
Passo 2
A resistência varia com a temperatura da seguinte forma:
No enunciado ele falou que a resistência à temperatura ambiente é é . E a temperatura ambiente fica:
Substituindo:
Logo:
Logo,
Resposta
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