Resistência e Resistividade

Teoria Completa

Resistência

Se medirmos a corrente resultante i ao aplicarmos uma diferença de potencial V em um condutor, podemos obter a resistência R de tal material, que será dada por:

R = V i

A resistência é uma medida do quanto um certo material resiste à passagem de cargas nele. É medida em Ohms e representada pela letra ômega Ω .

A grande maioria dos resistores que vamos ver aqui são ôhmicos, ou seja, a resistência não varia com a diferença de potencial. Nesse caso, a relação acima se chama Lei de Ohm e se analisarmos um gráfico da diferença de potencial V em função da corrente i , veremos que o gráfico que é uma reta, com coeficiente angular R .

A resistência é o que explica o porquê de barras de mesmas dimensões, mas de materiais diferentes, apresentarem resultados diferentes quando submetidas a uma mesma diferença de potencial.

Quando em um circuito, um condutor que tem a função de introduzir uma certa resistência é denominado resistor. Ainda vamos ver muito sobre isso quando falarmos de circuitos!!

Resistividade

A resistividade é a razão entre o módulo do campo elétrico num elemento de circuito e o módulo da densidade de corrente:

ρ = E J → E → = ρ J →

A unidade de medida da resistividade é “Ohm metro” Ω . m .

Quanto maior a resistividade, menor a tendência do elemento de circuito de deixar passar os elétrons.

Mas como a resistividade e a resistência estão ligadas?!

Atenção: demonstração importante à frente ;)

Então vamos lá, vamos imaginar um resistor em forma de prisma ligado aos fios do circuito:

Dado que a resistência é uma medida do quanto o elemento resiste, você há de concordar comigo que, se aumentarmos o seu comprimento L (mantendo A constante), a resistência vai aumentar, correto? É como se você estivesse num engarrafamento na Av. Brasil e alguém dobrasse ela de comprimento. Fica duas vezes mais irritante/resistente cruzar ela.

Portanto é razoável dizer que a resistência é proporcional ao comprimento L :

R ∝   L

Analogamente, se nós aumentarmos a área de seção reta A (mantendo L constante), você deve concordar que a resistência diminui, pois existe mais espaço para os elétrons passarem. Justo?

Então podemos dizer que a resistência é inversamente proporcional à A :

R ∝ 1 A

Se ela é proporcional à essas duas coisas, então é proporcional ao produto delas:

R ∝ L A

Além disso, quando duas coisas são proporcionais, temos que existe uma constante de proporcionalidade entre elas. Essa constante é a resistividade:

R = ρ L A

Essa fórmula é bastante importante, e muitas vezes ela não vem no formulário!!! Lembrando que ela só é válida se o resistor for um prisma (i.e. cubo, paralelepípedo, cilindro, etc).

Diferença entre Resistência e Resistividade

A resistência é uma propriedade que depende da resistividade e da sua geometria.

Já a resistividade é uma propriedade somente do material. Só pra mostrar um exemplo a resistividade do cobre é 1,72 × 10 - 8   Ω . m e a do níquel é 6,99 × 10 - 8 Ω . m .

Condutividade

A condutividade σ é o recíproco da resistividade, e é definida por:

σ = 1 ρ

Dessa forma:

σ = J E → J → = σ E →

Essa equação acima é outra forma de se escrever a lei de Ohm!

Se a resistividade é a propriedade do material que diz o quanto ele dificulta a passagem de corrente, a condutividade é a propriedade que diz a facilidade desse material permitir a passagem de corrente. Quanto maior a condutividade, melhor condutor é o material.

A unidade de condutividade no S.I. é Ω . m - 1 .

Variação da Resistividade em Metais

A maior parte das propriedades físicas varia de acordo com a temperatura. Acontece que, na maioria dos casos, nós simplesmente ignoramos essa variação.

Um dos casos que devemos levar em conta é quando essa variação de temperatura afeta a resistividade de um condutor, já que isso influi diretamente na forma como a corrente o atravessa.

Para os metais, em geral, podemos dizer que a resistividade varia linearmente com a variação de temperatura. Essa relação é dada por:

ρ - ρ 0 = ρ 0 α T - T 0

Onde ρ 0 e T 0 são, respectivamente, a resistividade e a temperatura iniciais, e ρ e T são, respectivamente, a resistividade e temperatura finais.

Geralmente, a temperatura T 0 usada para referência é 293 K , ou 20 ° C .

Como a expressão acima trabalha com a variação de temperatura T - T 0 , nesse caso, você pode usar a escala Kelvin ou Celsius, pode ficar tranquilo.

O termo α é chamado de coeficiente de temperatura da resistividade, e seus valores são tabelados, variando de acordo com o material. A unidade de medida de α é K - 1 .

Variação da Resistência em Metais

Esse tópico é só pra chamar a atenção pra um detalhe meio bobo, mas só pra não correr o risco de bater aquele branco depois.

Acabamos de ver como a resistividade varia com a temperatura, certo?

Anteriormente, vimos também que a resistência R e a resistividade ρ de um condutor (de área transversal constante) estão relacionadas por:

R = ρ L A

Quando um condutor passa por uma determinada variação de temperatura, tanto o seu comprimento L , quanto a sua área transversal A variam muito pouco.

Admitindo que tanto L , quanto A permaneçam constantes, podemos dizer que, assim como a resistividade, a resistência varia com a temperatura da seguinte forma:

R - R 0 = R 0 α T - T 0

Onde R 0 e R são, respectivamente, as resistências inicial e final.

Ok, então vamos lá praticar?

Expandir

Exercício Resolvido #1

UERJ- Lista de Exercícios sobre Correntes Elétricas.

A figura é o gráfico corrente versus diferença de potencial para um material. Qual é a resistência do material?

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Passo 1

Para qualquer material condutor, temos que a cada ponto V = R . I , para um condutor ôhmico, temos que a resistência é constante, e no caso de um gráfico V por I é inclinação da reta. No gráfico mostrado, que é I por V , temos que a resistência será:

R = Δ V Δ I

R = 100 2 = 50 1 = 50   Ω

Resposta

R = 50   Ω

Exercício Resolvido #2

UFRJ, PF 2014.2, ME 8

Uma barra de cobre cilíndrica, de resistência elétrica R , comprimento L e seção reta A , é comprimida para a metade do seu comprimento original, sem que seu volume se altere.

Pode-se afirmar que o novo valor de sua resistência elétrica é:

a 4 R

b 2 R

c R / 2

d R / 4

e R

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Passo 1

A resistência R , por definição é dada por:

R = ρ L A

Precisamos primeiro encontrar as relações para L ' e A ' . Mas como, ao ser comprimida, o seu volume não se altera, podemos dizer que:

V = L A = L ' A '

Onde L ' = L / 2 , logo:

L A = L A ' 2 → A ' = 2 A

Portanto, a nova resistência será dada por:

R ' = ρ L ' A ' = ρ L 2 2 A

R ' = ρ L 4 A → R ' = R 4

A opção certa é a letra d .

Resposta

d R / 4

Exercício Resolvido #3

UERJ- Lista de Exercícios sobre Corrente Elétrica.

Quando 115   volts são aplicados entre as extremidades de um fio que possui 10   m de comprimento e 0,30   mm de raio, a densidade de corrente é igual a 1,4 × 10 4   A/ m 2 .

Determine a resistividade do fio.

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Passo 1

Bom, o problema nos dá a voltagem V , o comprimento do fio L e o raio r do mesmo, além da densidade de corrente J .

Como ele está pedindo a resistividade ρ do fio, temos que dar um jeito de ligar todas essas coisas.

A resistividade ρ do fio é relacionada com a resistência R através dessa fórmula:

R = ρ L A

ρ = R A L

Como o problema nos deu L e nós conseguimos encontrar a área através do raio r que o problema nos deu, temos que dar um jeito de encontrar o valor de R .

Passo 2

Temos que:

V = R I

Show de bola! Nós temos V e não temos I ... mas o problema falou em densidade de corrente J , então nós só temos que lembrar que:

J = I A

I = J A

Substituindo na equação que define a resistência, teremos:

V = R J A

R = V J A

Antes de sair tacando os valores aqui, vamos jogar na fórmula da resistividade que encontramos ali em cima. ;)

Passo 3

ρ = R A L

Substituindo a fórmula da resistência R que encontramos no Passo 2:

ρ = V J A ⋅ A L

Simplificando isso aqui, teremos:

ρ = V J L

Onde:

V = 115   V ;

J = 1,4 × 10 4   A/ m 2 ;

L = 10   m ;

Logo:

ρ = 115 1,4 × 10 4 × 10

ρ = 8,21.10 - 4   Ωm

Aqui vai uma dica importante, tá vendo que, organizando tudo pra só depois substituir os valores nós acabamos simplificando um pouco a nossa vida, não tendo que calcular a área da seção transversal do fio?

Eu sempre achei uma boa, principalmente em física, fazer isso pra resolver os problemas... então fica a dica.

Resposta

ρ = 8,21.10 - 4   Ωm

Exercício Resolvido #4

Halliday/ Resnick, Fundamentos da Física Volume 3, 8ª ed. LTC, Cap. 26, pp. 160-15

Um fio de Nichrome (uma liga de níquel, cromo e ferro muito usada em elementos de aquecimento) tem 1,0   m de comprimento e 1,0   m m 2 de seção reta e conduz uma corrente de 4,0   A quando uma diferença de potencial de 2,0   V é aplicada a suas extremidades.

Calcule a condutividade σ do Nichrome.

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Passo 1

Ok, pra calcular a condutividade, precisamos começar calculando a resistividade.

Pra começar, vamos usar a corrente e a diferença de potencial que o problema forneceu pra calcularmos a resistência e, a partir disso, calculamos a resistividade, beleza?

A resistência é dada por:

R = V i

Onde:

V = 2,0   V

i = 4,0   A

Logo:

R = 2 4

R = 0,5   Ω

Passo 2

A resistência está associada com resistividade através da equação:

R = ρ L A

Assim, a resistividade será:

ρ = R . A L

Onde:

A = 1,0   m m 2 = 10 - 6   m 2

L = 1,0   m

Logo:

ρ = 0,5 × 10 - 6 1

ρ = 5,0 × 10 - 7   Ω . m

Passo 3

Finalmente, a condutividade será:

σ = 1 ρ

σ = 1 5,0 × 10 - 7

σ = 2,0 × 10 6   Ω . m - 1

Resposta

σ = 2,0 × 10 6   Ω . m - 1

Exercício Resolvido #5

UFRJ, PF 2015.1, ME 6

Três resistores cilíndricos circulares ôhmicos, 1, 2 e 3, são construídos com o mesmo material, de resistividade conhecida ρ . O resistor 1 tem comprimento L e área de seção reta A , o resistor 2 tem comprimento L e área de seção reta 2 A , enquanto o resistor 3 tem comprimento 2 L e área de seção reta 2 A .

Se cada um desses resistores for submetido a uma mesma diferença de potencial entre suas extremidades, podemos afirmar, sobre os módulos J i   i = 1 ,   2 ,   3 das densidades de corrente que fluem ao longo deles, que

a J 1 = J 2 = J 3 .

b J 1 = J 2 / 2 = J 3 .

c J 1 = J 2 = J 3 / 2 .

d J 1 = 2 J 2 = J 3 .

e J 1 = J 2 = 2 J 3 .

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Passo 1

A densidade de corrente, por definição, é dada por:

J = I A

A corrente no resistor está associada com a resistência por I = V / R , logo:

J = V R A

Por definição, a resistência é dada por:

R = ρ L A