Densidade de Corrente Variável

Teoria Completa

Densidade de Corrente Não-Uniforme

Quando a densidade de corrente é uniforme e temos uma corrente passando em um condutor com área de seção reta A , a densidade de corrente é dada por

j = I A

Pensa comigo... e se a corrente elétrica não estiver uniformemente distribuída na seção reta do condutor? O que eu faço?

Nesse caso, podemos calcular a densidade de corrente usando o mesmo princípio que usamos para a densidade de carga:

j → = d I d A s ^

E se quisermos calcular a corrente que passa numa determinada área, se tivermos o unitário n ^ normal à esta área em cada ponto podemos computar a corrente total como:

d I = j → ∙ d A →

A corrente total é dada por

I = ∬ A   J → ∙ d A →

Eu sei que você está pensando: “Sério mesmo que apareceu uma integral dupla aí?!”.

Calma... na prática, nós temos como dar uma simplificada nisso, se liga.

Condutor de Seção Transversal Circular

O nosso problema agora é calcular a corrente que passa através de um condutor de seção transversal circular. Esse é o tipo de problema que aparece na maioria das vezes.

Nesses casos, podemos reescrever o elemento de área d A → como:

d A → = d θ r d r n ^

Integrando em θ

d A → = 2 π r   d r   n ^

Agora a corrente total será dada por:

I = ∫ 2 π r   j → ∙ n ^   d r

Na maioria dos casos, j → e n ^ apontam na mesma direção e sentido... então, podemos dizer que:

I = ∫ 2 π r j   d r

Assim, deixamos de trabalhar com uma integral dupla, para trabalhar com uma integral simples.

Vamos supor que j = K r 2 , onde K é uma constante, e j é uma corrente passando num condutor cilíndrico de raio R . Nesse caso a corrente total é dada por

I = ∫ 0 R 2 π r j d r = ∫ 0 R 2 π r K r 2 d r = 2 π K ∫ 0 R r 3 d r

I = 2 π K   R 4 4

I = π K R 4 2

Belezinha? Então vamo praticar pra ficar na veia isso aí! ;)

Expandir

Exercício Resolvido #1

Halliday/ Resnick, Fundamentos da Física Volume 3, 8ª ed. LTC, Cap. 26, pp. 160-11

O módulo J r da densidade de corrente em um certo fio cilíndrico é dado por J r = B r , onde r é a distância radial a partir do centro do fio em metros e B = 2,00 × 10 5   A / m 3 .

Qual é a corrente que passa em um anel concêntrico com o fio, com 10,0   μ m de largura, situado a uma distância radial de 1,20   m m do centro do fio?

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Passo 1

Nesse caso, a densidade de corrente é dada por:

J r = d i d A

Como estamos trabalhando com um fio de seção reta circular, teremos:

d A = 2 π r   d r

Logo:

J r = d i 2 π r   d r

d i = J r . 2 π r   d r

Assim, podemos calcular a corrente através da integral:

i = ∫ a b 2 π r J r   d r

Onde a é o raio interno do anel, que vale a = 1,2 × 10 - 3   m . E b é o raio externo do anel, que vale b = 1,21 × 10 - 3 m .

Passo 2

Substituindo a função dada pelo problema, teremos:

i = ∫ a b 2 π r . B r   d r

i = 2 π B ∫ a b r 2   d r

i = 2 π B r 3 3 a b

i = 2 π B 3 b 3 - a 3

Substituindo os valores, teremos:

i = 2 π × 2 × 10 5 3 1,21 × 10 - 3 3 - 1,2 × 10 - 3 3

i = 1,82 × 10 - 5   A

i = 18,2   μ A

Resposta

i = 18,2   μ A

Exercício Resolvido #2

Halliday/ Resnick, Fundamentos da Física Volume 3, 8ª ed. LTC, Cap. 26, pp. 160-12

O módulo J da densidade de corrente em um certo fio cilíndrico de raio R = 2,00   m m é dado por J = 3,00 × 10 8 r 2 , com J em ampères por metro quadrado e a distância radial r em metros.

Qual é a corrente que passa em um anel concêntrico com o fio de raio interno 0,900   R e raio externo R ?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Nesse caso, a densidade de corrente é dada por:

J r = d i d A

Como estamos trabalhando com um fio de seção reta circular, teremos:

d A = 2 π r   d r

Logo:

J r = d i 2 π r   d r

d i = J r . 2 π r   d r

Assim, podemos calcular a corrente através da integral:

i = ∫ 0,9 R R 2 π r J r   d r

Passo 2

Substituindo a função dada pelo problema, teremos:

i = ∫ 0,9 R R 2 π r 3 × 10 8 r 2   d r

i = 2 π 3 × 10 8 ∫ 0,9 R R r 3   d r

i = 2 π 3 × 10 8 r 4 4 0,9 R R

i = π 3 × 10 8 2 R 4 - 0,9 R 4

i = π 3 × 10 8 2 R 4 - 0,6561 R 4

i = π 3 × 10 8 × 0,17195 R 4

i = 0,51585 × 10 8 π R 4

i = 5 , 1585 × 10 7 π R 4

Onde R = 2,00   m m = 2 × 10 - 3 m .

i = 5,1585 × 10 7 π × 2 × 10 - 3 4

i = 2,6 × 10 - 3   A

i = 2,6   m A

Resposta

i = 2 , 6   m A

Exercício Resolvido #3

Halliday/ Resnick, Fundamentos da Física Volume 3, 8ª ed. LTC, Cap. 26, pp. 160-13

Determine a corrente em um fio de raio R = 3,40   m m se o módulo da densidade de corrente é dado por a J a =   J 0 r / R e b   J b = J 0 1 - r / R , onde r é a distância radial e J 0 = 5,50 × 10 4   A / m 2 .

c Para qual das duas funções a densidade de corrente perto da superfície do fio é maior?

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Passo 1

a J a =   J 0 r / R ;

A corrente é dada por:

i = ∫ 0 R 2 π r J a   d r

i = ∫ 0 R 2 π r J 0 r R   d r

i = 2 π J 0 R ∫ 0 R r 2   d r

i = 2 π J 0 R r 3 3 0 R

i = 2 π J 0 R R 3 3

i = 2 π R 2 J 0 3

Onde:

R = 3,40   m m = 3,4 × 10 - 3 m

J 0 = 5,50 × 10 4   A / m 2

Logo:

i = 2 π × 5,50 × 10 4 × 3,4 × 10 - 3 2 3

i = 1,33   A