Densidade de Corrente Variável

Teoria Completa

Densidade de Corrente Não-Uniforme

Até agora a gente só viu fios nos quais a corrente é distribuída toda igualmente pela área do fio certo? E se eu te dissesse que é possível a corrente se concentrar mais em uma parte da área do fio do que em outra, como calcular a corrente que passa pelo fio se ela não tem um padrão?

Se liga nessas duas distribuições da corrente passando pela área da seção transversal do fio:

O fio onde a corrente é uniforme possui densidade de corrente constante e por isso o cálculo da corrente fica desse jeito aqui:

I = J . A

Pensa comigo... e se a corrente elétrica não estiver uniformemente distribuída na seção reta do condutor? O que eu faço?

Nesse caso, podemos calcular a corrente da seguinte forma:

d I = J → . d A →

Onde d I   é o escalar infinitesimal da corrente, J → é o vetor densidade de corrente e d A → é o vetor infinitesimal área que é perpendicular à área da seção transversal do fio.

E se quisermos calcular a corrente que passa numa determinada área faremos o seguinte:

d I = J → ∙ d A →

Onde temos um produto escalar entre os vetores J → e d A → e por isso podemos fazer o seguinte:

d I = J d A c o s θ

E enfim integrando temos a corrente:

I = ∬ A   J → ∙ d A →

Ou se preferir:

I = ∬ A   J d A c o s θ

Eu sei que você está pensando: “Sério mesmo que apareceu uma integral dupla aí?!”.

Calma... na prática, nós temos como dar uma simplificada nisso, se liga.

Condutor de Seção Transversal Circular

Na maioria das vezes o fio tem forma circular, e quais considerações poderemos fazer nesses casos? Vamos ver calculando a corrente pro seguinte fio sabendo que a densidade de corrente é J → = 3 × 10 5 r A m 2 s ^ .  

A gente sabe que pra encontrar a corrente precisamos fazer a seguinte integral.

I = ∬ A   J → ∙ d A → = ∬ A   J . d A c o s ( θ )

A primeira coisa importante é que o vetor J → será paralelo ao vetor d A → e teremos uma facilitação nas nossas contas pois nesse caso θ = 0 .

Na maioria dos casos o vetor densidade de corrente tá na direção do vetor d A → .

Olhando a figura a gente pode ver que ambos os vetores são normais ao plano, portanto paralelos entre si.

Daí a integral fica:

I = ∬ A   J . d A c o s 0 = ∬ A   J d A

Dali só falta a gente encontrar o infinitesimal da área, pra isso vamos pegar a equação da área do círculo:

A = π r 2

Derivando dos dois lados temos:

d A = 2 π r d r

O infinitesimal d r que aparece é a variação do raio ao longo da circunferência, se liga:

Fazendo essa substituição nós podemos transformar a integral dupla em simples pois não teremos que integrar em relação ao ângulo.

I = ∫ 0 R J 2 π r d r = 2 π ∫ 0 R J r d r

Se liga aí que o J tá dentro da integral, por quê? Porque estamos trabalhando com uma densidade de corrente variável, que varia ao longo da área conforme o raio.

Vamos substituir os valores e fazer a integral, se liga:

J = 3 × 10 5 r A m 2 ;     R = 0,05 m  

I = 2 π ∫ 0 0,05 3 × 10 5 r r d r = 2 π ∫ 0 0,05 3 × 10 5 r ² d r

Integrando e substituindo os limites temos:

I = 2 π r 3 3 × 3 × 10 5 0 0,05 = 2 π 0,05 3 × 10 5

E enfim a corrente no fio é:

I = 78,54 A

No geral os problemas vão trabalhar com seções circulares e daí é basicamente ir fazendo as substituições necessárias. Lembrando que a densidade de corrente variável será uma função do raio que precisa ser integrada, beleza? Bora pros exercícios?

Expandir

Exercício Resolvido #1

Halliday/ Resnick, Fundamentos da Física Volume 3, 8ª ed. LTC, Cap. 26, pp. 160-11

O módulo J r da densidade de corrente em um certo fio cilíndrico é dado por J r = B r , onde r é a distância radial a partir do centro do fio em metros e B = 2,00 × 10 5   A / m 3 .

Qual é a corrente que passa em um anel concêntrico com o fio, com 10,0   μ m de largura, situado a uma distância radial de 1,20   m m do centro do fio?

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Passo 1

Nesse caso, a densidade de corrente é dada por:

J r = d i d A

Como estamos trabalhando com um fio de seção reta circular, teremos:

d A = 2 π r   d r

Logo:

J r = d i 2 π r   d r

d i = J r . 2 π r   d r

Assim, podemos calcular a corrente através da integral:

i = ∫ a b 2 π r J r   d r

Onde a é o raio interno do anel, que vale a = 1,2 × 10 - 3   m . E b é o raio externo do anel, que vale b = 1,21 × 10 - 3 m .

Passo 2

Substituindo a função dada pelo problema, teremos:

i = ∫ a b 2 π r . B r   d r

i = 2 π B ∫ a b r 2   d r

i = 2 π B r 3 3 a b

i = 2 π B 3 b 3 - a 3

Substituindo os valores, teremos:

i = 2 π × 2 × 10 5 3 1,21 × 10 - 3 3 - 1,2 × 10 - 3 3

i = 1,82 × 10 - 5   A

i = 18,2   μ A

Resposta

i = 18,2   μ A

Exercício Resolvido #2

Halliday/ Resnick, Fundamentos da Física Volume 3, 8ª ed. LTC, Cap. 26, pp. 160-12

O módulo J da densidade de corrente em um certo fio cilíndrico de raio R = 2,00   m m é dado por J = 3,00 × 10 8 r 2 , com J em ampères por metro quadrado e a distância radial r em metros.

Qual é a corrente que passa em um anel concêntrico com o fio de raio interno 0,900   R e raio externo R ?

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Passo 1

Nesse caso, a densidade de corrente é dada por:

J r = d i d A

Como estamos trabalhando com um fio de seção reta circular, teremos:

d A = 2 π r   d r

Logo:

J r = d i 2 π r   d r

d i = J r . 2 π r   d r

Assim, podemos calcular a corrente através da integral:

i = ∫ 0,9 R R 2 π r J r   d r

Passo 2

Substituindo a função dada pelo problema, teremos:

i = ∫ 0,9 R R 2 π r 3 × 10 8 r 2   d r

i = 2 π 3 × 10 8 ∫ 0,9 R R r 3   d r

i = 2 π 3 × 10 8 r 4 4 0,9 R R

i = π 3 × 10 8 2 R 4 - 0,9 R 4

i = π 3 × 10 8 2 R 4 - 0,6561 R 4

i = π 3 × 10 8 × 0,17195 R 4

i = 0,51585 × 10 8 π R 4

i = 5 , 1585 × 10 7 π R 4

Onde R = 2,00   m m = 2 × 10 - 3 m .

i = 5,1585 × 10 7 π × 2 × 10 - 3 4

i = 2,6 × 10 - 3   A

i = 2,6   m A

Resposta

i = 2 , 6   m A

Exercício Resolvido #3

Halliday/ Resnick, Fundamentos da Física Volume 3, 8ª ed. LTC, Cap. 26, pp. 160-13

Determine a corrente em um fio de raio R = 3,40   m m se o módulo da densidade de corrente é dado por a J a =   J 0 r / R e b   J b = J 0 1 - r / R , onde r é a distância radial e J 0 = 5,50 × 10 4   A / m 2 .

c Para qual das duas funções a densidade de corrente perto da superfície do fio é maior?

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Passo 1

a J a =   J 0 r / R ;

A corrente é dada por:

i = ∫ 0 R 2 π r J a   d r