Densidade de Corrente Uniforme

Teoria Completa

Densidade de Corrente

A densidade de corrente é quase uma extensão da densidade de carga que nós já estudamos, só que muito menos complicado porque não temos que ficar fazendo integrais (ainda). A densidade de corrente, representada pela letra J , é um vetor do fluxo de cargas através da seção reta de um condutor em um certo ponto.

A densidade de corrente aponta na direção e no sentido que flui a corrente. Lembra que, quando nós vimos corrente elétrica, definimos que o sentido da corrente era dado pelo sentido do fluxo das cargas positivas? Então, o vetor densidade de corrente tem a mesma direção e sentido do fluxo de cargas positivas, e o sentido oposto ao fluxo de cargas negativas.

Se a corrente está uniformemente distribuída na seção reta de um elemento de circuito, o módulo da densidade de corrente é a razão entre a corrente que flui nesta seção reta e a área da seção:

J → = i A s ^

s ^ : Vetor unitário que dá a direção do fluxo da corrente.

A unidade de medida de densidade de corrente é A / m 2 .

Densidade de Corrente Uniforme

Por exemplo: Imagine um fio de seção transversal circular conduzindo uma determinada corrente elétrica i , beleza? Se a corrente for uniformemente distribuída ao longo da seção reta, a densidade de corrente será dada por:

J = i A → J = i π r 2

Assim, a corrente elétrica variará (essa palavra não é esquisita?!) com o raio da seguinte forma:

i = J π r 2

Se analisarmos um gráfico da corrente i em função de r 2 , veremos que o coeficiente angular da reta será J π .

Velocidade de Deriva

Lá atrás, eu te disse que podemos pensar na corrente elétrica como uma espécie de velocidade. Então, na verdade nós podemos escrever a velocidade média de deslocamento dos elétrons em função da corrente elétrica ou da densidade de corrente.

É essa velocidade de deslocamento dos elétrons que nós vamos chamar de velocidade de deriva ( v d ), tá favorável?

Pensa comigo... se q é a quantidade de carga que passa no condutor em um determinado intervalo de tempo, podemos escrever o seguinte:

q = N e

Onde N é a quantidade total de elétrons e “ e ” é a carga elementar (carga de um elétron).

Nesse caso, podemos dizer que o número de cargas que cabem em um pedaço de fio L é n A L , onde n é o número de elétrons por unidade de volume e A é a área da seção transversal.

Portanto:

q = n A L e

A velocidade com que os elétrons atravessam esse mesmo pedaço de fio L é:

v d = L t → t = L v d

Já temos q e t ... substituindo esses caras na expressão da corrente, teremos:

i = q t = n A L e L v d → i = n A e v d

Se reorganizarmos esses caras, vamos ter o seguinte:

v d = i n A e

v d = J n e

Beleza, com isso já podemos quebrar um pouco a cabeça.

Expandir

Exercício Resolvido #1

Elaboração própria.

Uma corrente de 3 × 10 - 9   A atravessa um fio de cobre. Considerando que a densidade de corrente vale 4,5 × 10 - 5   A / m ² , calcule a área do fio.

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Passo 1

Nesse probleminha, vamos usar a relação A = i J , é só substituir:

A = 3 × 10 - 9 4,5 × 10 - 5

A = 66,6 × 10 - 6   m ²

Resposta

A = 66,6 × 10 - 6   m ²

Exercício Resolvido #2

Elaboração própria.

Suponha um fio de cobre com seção reta de 0,25   c m ² . Considerando um ponto A e um ponto B nesse fio, separados por uma distância de 1   m e que os elétrons levam 5 minutos para irem do ponto A até o ponto B , qual a corrente que passa pelo fio?

Considere que o número de portadores de carga por unidade de volume é 9 × 10 27   m - 3 .

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Passo 1

Antes de tudo, vamos descobrir qual a velocidade de deriva, lembrando que 5 minutos equivalem a 300 segundos:

v d = 1   m 300   s

v d = 3,33 × 10 - 3   m / s

Passo 2

Agora, basta substituir v d na expressão v d = i n A e para encontrarmos i , mas antes vamos converter as unidades belezinha?

A = 0,25   c m 2 = 2,5 × 10 - 5   m ²

Substituindo na fórmula:

i = 3,33 × 10 - 3 × 9 × 10 27 × 2,5 × 10 - 5 × 1,6 × 10 - 19

i = 119,88   A

Resposta

i = 119,88   A

Exercício Resolvido #3

UFRJ , P1 2014.1, Múltipla Escolha n° 5

Uma corrente é estabelecida num tubo de descarga de gás quando uma diferença de potencial (ddp) é aplicada entre dois eletrodos no tubo. O gás se ioniza, os elétrons movem-se em direção ao terminal positivo e os íons positivos em direção ao terminal negativo. Em um tubo de descarga de hidrogênio, 7,00 × 10 18 elétrons e 3,00 × 10 18 prótons passam através da seção reta do tubo a cada segundo. Quais são o módulo I da corrente elétrica e o sentido do vetor densidade de corrente elétrica nesse tubo de descarga? Lembre-se que o módulo da carga do elétron vale 1,60 × 10 - 19 C .

  1. I = 1,60   A . Sentido: do terminal positivo para o negativo.
  2. I = 0,640   A . Sentido: do terminal positivo para o negativo.
  3. I = 1,60   A . Sentido: do terminal negativo para o positivo.
  4. I = 0,640   A . Sentido: do terminal negativo para o positivo.
  5. I = 1,12   A . Sentido: do terminal positivo para o negativo.
  6. I = 1,12   A . Sentido: do terminal negativo para o positivo.
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Passo 1

Primeiramente, desenhamos:

Beleza. Como temos prótons pra um lado e elétrons pro outro de corrente, o número de partículas total nada mais é do que a soma dos dois:

n = 7 + 3 × 10 18

n = 10 × 10 18

n = 10 19

Passo 2

Dado que temos o número de partículas, e a carga do elétron e do próton são iguais em módulo, temos que a carga total é:

Q = 10 19 × 1,6 × 10 - 19 C

Q = 1,6   C

Isso funciona porque os elétrons e prótons em movimento estão indo em sentidos opostos. Portanto eles se somam para gerar a corrente total.

Um elétron indo da esquerda pra direita gera a mesma corrente que um próton indo da direita pra esquerda.

Passo 3

Como o enunciado diz que essa é a carga que cruza uma seção reta do fio a cada segundo, temos:

I = Q Δ t

I = 1,6 C s

I = 1,6   A

Passo 4

O vetor densidade de corrente nada mais é que:

J → = I A s ^

Onde I e A estão em módulo e s ^ é o vetor que dá o sentido e a direção da corrente. Como a corrente tem o sentido contrário ao dos elétrons, e eles seguem em direção ao terminal positivo, temos que o sentido dela é do positivo pro negativo.

Logo...

Resposta

Letra a

Exercício Resolvido #4

Instituto de Física Gleb Wataghin

A densidade de corrente em um fio cilíndrico de raio R = 2,0   m m é uniforme em uma seção transversal do fio e vale J = 2,0 × 10 5   A / m ² . Qual a corrente que atravessa a porção externa do fio entre as distâncias radiais R / 2 e R ?

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Passo 1

Pra resolver esse exercício, vamos usar a relação J = i A , onde A , nesse caso, vai ser π R 2 - R 2 2 , já que ele quer a corrente na região entre R 2 e R .

Então

A = π ( 2 × 10 - 3 2 - 10 - 3 2 )

A = 9,4 × 10 - 6   m ²

Agora é só substituir na fórmula pra achar i :

i = J A

i = 2,0 × 10 5 × 9,4 × 10 - 6

i = 1,88   A

Resposta

i = 1,88   A

Exercício Resolvido #5

Halliday/ Resnick, Fundamentos da Física Volume 3, 8ª ed. LTC, Cap. 26, pp. 160-4

Uma corrente pequena, porém mensurável, de 1,2 × 10 - 10 A atravessa um fio de cobre de 2,5 m m de diâmetro. O número de portadores de carga por unidade de volume é 8,49 × 10 28   m - 3 .

Supondo que a corrente é uniforme, calcule a a densidade de corrente e b a velocidade de deriva dos elétrons.

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Passo 1

a Calcule a densidade de corrente;

Por definição, a densidade de corrente é dada por:

J = i A

Como a seção reta do fio é circular, a área transversal será:

A = π r 2 = π d 2 4

Onde d = 2,5   m m = 2,5 × 10 - 3 m .

Substituindo os valores, teremos:

J = i π d 2 4 = 4 i π d 2

J = 4 × 1,2 × 10 - 10 π × 2,5 × 10 - 3 2

J = 2,4 × 10 - 5   A / m 2

Passo 2

b Calcule a velocidade de deriva dos elétrons;

A velocidade de deriva está associada à densidade de corrente através da expressão:

v d = J n e

Onde n é a quantidade de portadores de carga por unidade de volume e vale 8,49 × 10 28   m - 3 , e e é a carga elementar que vale e = 1,6 × 10 - 19 C .

Logo:

v d = 2,4 × 10 - 5 8,49 × 10 28 × 1,6 × 10 - 19

v d = 1,8 × 10 - 15   m / s

Resposta

a

J = 2,4 × 10 - 5   A / m 2

b

v d = 1,8 × 10 - 15   m / s

Exercício Resolvido #6

Halliday/ Resnick, Fundamentos da Física Volume 3, 8ª ed. LTC, Cap. 26, pp. 160-5

O fusível de um circuito elétrico é um fio projetado para fundir, abrindo o circuito, se a corrente ultrapassar um certo valor.

Suponha que o material a ser usado em um fusível funde quando a densidade de corrente ultrapassa 440   A / c m 2 . Que diâmetro de fio cilíndrico deve ser usado para fazer um fusível que limite a corrente a 0,50   A ?

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Passo 1

O problema nos deu a densidade de corrente e a corrente máxima... agora já podemos nos virar sozinhos.

A densidade de corrente é dada por:

J = i A

Como a seção reta do fio é circular, a área transversal será:

A = π r 2 = π d 2 4

Substituindo na expressão da densidade de corrente, teremos:

J = 4 i π d 2

Reorganizando essa expressão, teremos:

d = 4 i π J

Agora é partir pros cálculos.

Passo 2

A corrente é dada por:

i = 0,50   A

E a densidade de corrente é dada por:

J = 440 A c m 2 = 440 A 10 - 2 m 2