Dispersão Cromática

Resumo Completo

Há muito tempo atrás, Newton descobriu que a luz do sol era composta por várias cores.

Ele passou a luz por um prisma, e ela se decompôs em todas as suas várias componentes coloridas.

Isso é legal e tals, mas... como um prisma decompõe a luz branca assim? São poderes mágicos?

Não,jovem gafanhoto. Vou lhe explicar o que ocorre.

O índice de refração de um meio, na verdade, depende do comprimento de onda da luz incidente! Cada cor tem um índice de refração diferente.

Por isso, ao refratar no vidro do prisma, por exemplo, cada cor faz um ângulo de refração diferente, se separando.

Dispersão Cromática

Imagina que a luz se propagava no ar e , de repente, incide numa placa de plástico transparente.

As cores do espectro visível variam, com o menor comprimento de onda na faixa do azul e o maior na faixa do vermelho. Olhemos esses dois limites.

O índice de refração para o azul é n a z u l e para o vermelho é n v e r m . Seus respectivos ângulos de refração θ a z u l e θ v e r m vão ser dados pela lei de Snell:

n 1 sen θ 1 = n a z u l sen θ a z u l

n 1 sen θ 1 = n v e r m sen θ v e r m

Onde n 1 é o índice de refração do ar e θ 1 é o ângulo de incidência. Encontrando os ângulos de refração dos extremos do espectro, é possível ver o quanto as cores se dispersam ao entrar no vidro.

Essa dispersão é a dispersão angular, e pode ser calculada subtraindo um ângulo do outro.

D i s p e r s ã o = Δ θ = θ v e r m - θ a z u l

E sabemos que todas as cores do arco-íris irão estar dentro das faixas de ângulos entre θ a z u l e θ v e r m .

É assim que o arco-íris é formado!

A luz do sol incide nas gotas de água e, dentro dela, refletem algumas vezes até sair da gota.

Ao sair da gota, cada cor faz um ângulo de saída, se separando das outras e formando um fio de cores. Quando juntamos as cores que saem das várias gotas de água forma-se o arco-íris!

Esse é o motivo de ser comum aparecer um arco-íris após um dia chuvoso.

Expandir

Exercício Resolvido #1

Enunciado

Halliday, Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de física, volume 4: Óptica e Física Moderna, 8ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009, pp 33-52

Dispersão em um vidro de janela.

Na Fig.33-54 um feixe de luz branca incide com um ângulo θ = 50 ° em um vidro comum de janela (mostrado de perfil). Para esse tipo de vidro o índice de refração da luz visível varia de 1,524 na extremidade azul do espectro a 1,509 na extremidade vermelha.

As duas superfícies do vidro são paralelas. Determine a dispersão angular das cores do feixe:

  1. Quando a luz entra no vidro
  2. Quando a luz sai do lado oposto.

(Sugestão: Quando você olha para um objeto através de um vidro de janela as cores do objeto se dispersam como na Fig.33-20?)

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Letra a)

Vamos calcular o ângulo de refração para as duas cores nas extremidades do espectro visível.

Para a extremidade azul n v i d r o ,   a z u l = 1,524 , enquanto o índice de refração do ar é n a r 1 e o ângulo de incidência é θ i = 50 ° .

n a r sen θ i = n v i d r o ,   a z u l sen θ r ,   a z u l

sen θ r ,   a z u l = n a r sen θ i n v i d r o ,   a z u l sen 50 ° 1,524 0,503

θ r ,   a z u l sen - 1 0,503 30,18 °

Para a extremidade vermelha n v i d r o ,   v e r m e l h o = 1,509 .

n a r sen θ i = n v i d r o ,   v e r m e l h o sen θ r ,   v e r m e l h o

sen θ r ,   v e r m e l h o = n a r sen θ i n v i d r o ,   v e r m e l h o sen 50 ° 1,509 0,508

θ r ,   v e r m e l h o sen - 1 0,508 30,51 °

A dispersão vai ser:

θ r ,   v e r m e l h o - θ r ,   a z u l 30,51 ° - 30,18 ° = 0,33 °

Passo 2

Letra b)

Quando a luz sair do outro lado do vidro, ela sairá paralela ao raio incidente.

De fato, tanto para o azul quanto para o vermelho teremos:

n a r sen θ i = n v i d r o , sen θ r = n a r sen θ s a í d a

n a r sen θ i = n a r sen θ s a í d a

θ i = θ s a í d a

Ou seja, os ângulos incidentes e de saída serão os mesmos.

Como isso vale para todas as cores, todas elas sairão paralelas entre si e a dispersão angular vai ser zero.

Resposta

Letra a)

D i s p e r s ã o 0,33 °

Letra b)

D i s p e r s ã o = 0 °

Exercício Resolvido #2

Enunciado

Halliday, Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de física, volume 4: Óptica e Física Moderna, 8ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009, pp 33-56

Arco-íris produzidos por gotas quadradas.

Suponha que, em um planeta exótico, as gotas de chuva tenham uma seção reta quadrada e caiam sempre com uma face paralela ao solo. A Fig.33-58 mostra uma dessas gostas, na qual incide um feixe de luz branca om um ângulo de incidência θ = 70,0 ° no ponto P .

A parte da luz que penetra na gota se propaga até o ponto A , onde parte é refratada de volta para o ar e a outra parte é refletida.

A luz refletida chega ao ponto B , onde novamente parte da luz é refratada de volta para o ar e parte é refletida.

Qual é a diferença entre os ângulos dos raios de luz vermelha ( n = 1,331 ) e de luz azul ( n = 1,343 ) que deixam a gota:

  1. No ponto A .
  2. No ponto B?

(Essa diferença faz com que um observador externo veja um arco-íris ao observar a luz que sai do ponto A ou do ponto B .)

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Letra a)

Primeiro precisamos encontrar o ângulo de incidência da luz no ponto A . Cada cor tem um ângulo de refração no ponto P e logo seus ângulos de incidência são diferentes.

Os ângulos de refração do azul e do vermelho serão:

n a r sen θ = n g o t a ,   a z u l   sen θ r ,   a z u l

n a r sen θ = n g o t a ,   v e r m e l h o   sen θ r ,   v e r m e l h o

Os valores serão:

  • n g o t a ,   a z u l = 1,343
  • n g o t a ,   v e r m e l h o = 1,331
  • n a r 1
  • θ = 70,0 °

sen 70 ° = 1,343   sen θ r ,   a z u l

  sen θ r ,   a z u l = sen 70 ° 1,343 0,700

θ r ,   a z u l sen - 1 0,7 44,4 °

sen 70 ° = 1,331   sen θ r ,   v e r m e l h o

sen θ r ,   v e r m e l h o = sen 70 ° 1,3 31 0,70 6

θ r ,   v e r m e l h o sen - 1 0,7 06 44 , 91 °

Passo 2

Com o ângulo de refração de cada cor, queremos agora os ângulos de incidência no ponto A .

Esse ângulo vai ser 90 ° - θ r .

O ângulo de refração da luz que deixa a gota no ponto A vai ser dado pela Lei de Snell novamente. Nesse caso:

n g o t a sen 90 ° - θ r = n a r sen θ s a í d a

Como n a r 1   e sen 90 ° - θ r = cos θ r :

n g o t a cos θ r = sen θ s a í d a

Vamos fazer para cada cor:

n g o t a ,   a z u l cos θ r ,   a z u l = sen θ s a í d a ,   a z u l

sen θ s a í d a ,   a z u l 1,343 cos 44,4 ° 0,960

θ s a í d a ,   a z u l sen - 1 0,960 73,65 °

n g o t a ,   v e r m e l h o cos θ r ,   v e r m e l h o = sen θ s a í d a ,   v e r m e l h o

sen θ s a í d a ,   v e r m e l h o 1,3 3 1 cos 44 , 91 ° 0,943

θ s a í d a ,   v e r m e l h o sen - 1 0,9 43 7 0 , 5 0 °

A dispersão angular na saída do ponto A vai ser:

θ s a í d a ,   a z u l - θ s a í d a ,   v e r m e l h o 73,65 ° - 70,50 ° = 3,15 °

Passo 3

Letra b)

O ângulo de reflexão no ponto A é igual ao ângulo de incidência, 90 ° - θ r .

Porém, ao incidir no ponto B , o ângulo de incidência será θ r .

E nesse caso a lei de Snell ficará:

n g o t a sen θ r = n a r sen θ s a í d a

Mas calma lá. Vimos antes que:

n a r sen θ = n g o t a   sen θ r

Juntando as duas equações:

n a r sen θ = n a r sen θ s a í d a

θ = θ s a í d a

O que vale para todas as cores. Isso significa que as cores saem paralelas umas às outras no ponto B e a dispersão é zero.

Resposta

Letra a)

Δ θ 3,15 °

Letra b)

Δ θ = 0 °

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