Múltiplas Refrações

Resumo Completo

Às vezes os professores tentam colocar algumas questões em prova ou lista de exercício com as quais ele acha que vai conseguir pegar o aluno desprevenido.

São questões aparentemente super complicadas, mas que tem alguns macetes pra serem resolvidas.

Vou te falar um exemplo:

Um raio de luz se propaga no ar, e incide em uma placa de vidro, com índice de refração n 1 com um ângulo de incidência de 37,73 ° .

A interface ar/vidro é plana e a luz que refrata no vidro depois incide em mais uma interface com um material novo com índice de refração n 2 . Essa nova interface é paralela à anterior.

A luz que refrata nesse material depois refrata em mais outro material, e depois mais outro, e mais outro e outro e outro, todos com as interfaces paralelas!

Isso se repete trinta vezes, até que a luz sai do último material de volta para o ar.

A pergunta é: Qual o ângulo que o raio luminoso que sai do sistema faz com a normal à superfície?

Quando temos interfaces paralelas, o ângulo de refração que a luz faz em um meio e o ângulo de incidência que ela faz no meio seguinte são iguais!

Pois sendo as interfaces paralelas, as retas normais a elas também serão.

Isso nos permite usar a Lei de Snell várias vezes com os mesmos ângulos de refração e incidência:

n a r sen θ i = n 1 sen θ 1 = n 2 sen θ 2 = = n 29 sen θ 29 = n 30 sen θ 30 = n a r sen θ s

Onde θ i é o ângulo de incidência do ar no meio 1 e θ s é o ângulo do raio luminoso que sai do conjunto devolta pro ar.

Como todos os termos são iguais, podemos simplesmente pegar o primeiro e o último:

n a r sen θ i = n a r sen θ s

θ i = θ s θ s = 37,73 °

Cortando os índices de refração um com o outro, e como os ângulos são menores que 90 ° , podemos dizer que o ângulo de saída é igual ao ângulo de entrada do raio luminoso. E isso independe de quantos materiais colocamos no trajeto do raio!

Poderíamos usar o mesmo raciocínio pra achar o ângulo do raio em qualquer um dos materiais:

n a r sen θ i = n i sen θ i

Pois é tudo igual mesmo.

E nem precisava ser ar no início. Podemos pegar dois termos no meio das igualdades.

n i sen θ i = n j sen θ j

Agora vamos pros exercícios, sem ser pego na pegadinha do malandro!

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Exercício Resolvido #1

Enunciado

Halliday, Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de física, volume 4: Óptica e Física Moderna, 8ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009, pp 28-10

Na Fig.33-35 a luz começa no material a , passa por placas feitas de três outros materiais com as interfaces todas paralelas entre si e penetra em outra placa do material a .

A figura mostra o raio incidente e os raios refratados nas diferentes interfaces.

Coloque os materiais na ordem do índice de refração, começando pelo maior.

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Quando um raio luminoso passa de um meio 1 com índice de refração n 1 para um meio 2 com índice de refração n 2 , temos:

Se, e somente se n 1 < n 2 , o ângulo que o raio refratado faz com o vetor normal à interface dos meios é menor que o ângulo do raio incidente

Se, e somente se n 1 > n 2 , o ângulo que o raio refratado faz com o vetor normal à interface dos meio é maior que o ângulo do raio incidente.

Logo, podemos comparar o índice de refração de duas placas em sequência pelo ângulo dos raios incidente e refratado.

Passo 2

Ao sair de a e entrar em b , o raio de luz faz um ângulo menor com a normal à superfície entre a e b . Por isso, n b > n a .

De b para c o ângulo de refração é maior que o de incidência, e logo n c < n b .

De c para d o ângulo decresce, o que significa que n d > n c .

De d para a o ângulo cresce, indicando que n a < n d

Passo 3

Agora temos um segundo problema:

Sabemos, por exemplo, que ambos n d e n b são maiores que n a e n c . Mas quem é maior entre n d e n b ?

A lei de Snell pode nos responder isso! Nesse caso, podemos aplica-la diversas vezes, o que nos dirá que:

n a sen ( θ 1 ) = n b sen ( θ 2 ) = n c sen ( θ 3 ) = n d sen ( θ 4 )

Pois o âgulo de refração em b será o mesmo que o incidente em c e o de refração em c será o mesmo que o de incidência em d .

Isso nos diz que:

n b sen ( θ 2 ) = n d sen ( θ 4 )

O que significa que, se o ângulo de refração em d for maior que o em b , sen ( θ 4 ) > sen θ 2 , o e para os dois lados ficarem iguals, o índice de refração de d precisaria ser menor que o de b .

Porém o ângulo de refração em d é menor que o de b , o que nos diz que n d > n b . Podemos fazer o mesmo para a e c :

n a sen θ 1 = n c sen ( θ 3 )

E sendo o ângulo de refração em c maior que o incidente entre a e b , isso significa que n c < n a .

Por esse raciocínio, juntando todos os passos:

n d > n b > n a > n c

Resposta

n d > n b > n a > n c

Exercício Resolvido #2

Enunciado

Halliday, Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de física, volume 4: Óptica e Física Moderna, 8ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009, pp 36-76

Na Fig.33-72 dois raios luminosos que estavam se propagando inicialmente no ar passam por cinco placas de plástico transparente e voltam para o ar. As placas têm interfaces paralelas e espessura desconhecida; os índices de refração são n 1 = 1,7 , n 2 = 1,6 , n 3 = 1,5 , n 4 = 1,4 e n 5 = 1,6 .

O ângulo de incidência do raio b é θ b = 20 ° . Em relação à normal à última interface, determine:

  1. O ângulo de saída do raio a .
  2. O ângulo de saída do raio b .
  3. (Sugestão: Pode ser mais rápido resolver o problema algebricamente.)

    Se em vez de ar houver um vidro com um índice de refração 1,5 à esquerda e à direita das placas, determine o ângulo de saída:

  4. Do raio a .
  5. Do raio b .

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Letra a)

Quando o raio passa de um meio para outro perpendicular à interface, o raio propagado no segundo meio também vai ter uma direção normal à interface.

Por isso o raio a vai atravessar todas as placas perpendicular às interfaces, e acabará saindo no fim com o mesmo ângulo no ar.

Logo, seu ângulo de saída é zero.

Passo 2

Letra b)

Como as interfaces de todas as placas são paralelas, podemos usar a lei de Snell consecutivas vezes usando o mesmo ângulo para dois usos em sequência.

n a r sen ( θ b ) = n 1 sen ( θ 1 ) = n 2 sen ( θ 2 ) = n 3 sen ( θ 3 ) = n 4 sen ( θ 4 ) = n 5 sen ( θ 5 ) = n a r sen ( θ s a í d a )

Se usarmos apenas os dois extremos da equação:

n a r sen ( θ b ) = n a r sen ( θ s a í d a )

sen ( θ b ) = sen ( θ s a í d a )

Sendo os dois ângulos menores que 90 ° , podemos dizer que

θ b = θ s a í d a

O ângulo de saída será igual ao de entrada θ s a í d a = 20 ° .

Passo 3

Letra c)

Se invés de ar, tivéssemos vidro dos dois lados, nosso raciocínio para um raio perpendicular seria o mesmo.

Logo, o ângulo de saída do raio a continuaria sendo zero.

Passo 4

Letra d)

Novamente, o raciocínio se mantém, e o ângulo de saída será igual ao de entrada.

θ s a í d a ,   v i d r o = 20 °

Resposta

Letra a)

θ = 0 °

Letra b)

θ s a í d a = 20 °

Letra c)

θ = 0 °

Letra d)

θ s a í d a ,   v i d r o = 20 °

Exercício Resolvido #3

Enunciado

Halliday, Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de física, volume 4: Óptica e Física Moderna, 8ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009, pp 33-53

Na Fig.33-55 a luz incide, fazendo um ângulo θ 1 = 40,1 ° com a normal, na interface de dois materiais transparentes. Parte da luz atravessa as outras três camadas transparentes e parte é refletida para cima e escapa para o ar.

Se n 1 = 1,30 , n 2 = 1,40 , n 3 = 1,32 , e n 4 = 1,45 , determine o valor:

  1. De θ 5
  2. De θ 4

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Letra a)

Pela lei da reflexão, o raio refletido na interface de 1 com 2 terá o mesmo ângulo que o ângulo de incidência.

Como ele incide em uma interface paralela a essa entre 1 e o ar, o ângulo de incidência nesse plano será o mesmo que o de reflexão.

Usando a lei de Snell:

n 1 sen θ 1 = n a r sen θ 5

Sabemos que n a r 1 , e pelo enunciado:

  • n 1 = 1,30
  • θ 1 = 40,1 °

sen θ 5 = n 1 sen θ 1 n a r = 1,30 sen 40,1 ° 0,837

θ 5 sen - 1 0,837 56,86 °

Passo 2

Letra b)

As interfaces são todas paralelas e nós podemos usar a lei de Snell para dizer:

n 1 sen θ 1 = n 2 sen θ 2 = n 3 sen θ 3 = n 4 sen θ 4

Ou seja:

n 1 sen θ 1 = n 4 sen θ 4

O índice de refração de 4 é n 4 = 1,45 .

sen θ 4 = n 1 sen θ 1 n 4 = 1,30 sen 40,1 ° 1,45 0,577

θ 4 sen - 1 0,577 35,27 °

Resposta

Letra a)

θ 5 56,86 °

Letra b)

θ 4 35,27 °

Exercício Resolvido #4

Enunciado

Halliday, Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de física, volume 4: Óptica e Física Moderna, 8ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009, pp 34-59

Na Fig.33-59 um feixe luminoso que se propaga inicialmente no material 1 é refratado para o material 2 , atravessa esse material e incide com o ângulo crítico na interface dos meios 2 e 3 .

Os índices de refração são n 1 = 1,60 , n 2 = 1,40 e n 3 = 1,20 .

  1. Qual é o valor do ângulo θ ?
  2. Se o valor de θ aumenta, a luz consegue penetrar no meio 3 ?

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Letra a)

O raio que incide no material 2 com um ângulo θ é refratado com um ângulo dado pela lei de Snell

n 1 sen θ = n 2 sen θ 2

sen θ = n 2 sen θ 2 n 1

Agora precisamos encontrar θ 2 .

Passo 2

Podemos ver que temos um triângulo retângulo formado pelo raio refratado no meio 2 e o ponto onde a luz incide nas interfaces entre 1 e 2 e entre 2 e 3 . Com isso, podemos encontrar o ângulo de incidência na interface entre 2 e 3 .

Usando a lei de Snell:

n 2 sen 90 ° - θ 2 = n 3 sen θ 3

Mas pelo enunciado, 90 ° - θ 2 é o ângulo crítico, o que significa que θ 3 = 90 ° , e também:

  • n 2 = 1,40
  • n 3 = 1,20

A trigonometria também nos diz que sen 90 ° - θ 2 = cos θ 2 .

cos θ 2 = n 3 n 2 = 1,2 1,4 0,857

θ 2 cos - 1 0,857 31 °

Passo 3

Substituindo na nossa primeira equação junto com n 1 = 1,60 :

sen θ = n 2 sen θ 2 n 1 1,4 sen 31 ° 1,6 0,451

θ sen - 1 0,451 26,79 °

Passo 4

Letra b)

Se θ aumentar, θ 2 aumenta e 90 ° - θ 2 diminui, diminuindo o ângulo de refração θ 3 e possibilitando que a luz penetre no meio 3 .

Resposta

Letra a)

θ 26,79 °

Letra b)

Sim, se o valor de θ aumenta a luz consegue penetrar no meio 3 .

Exercício Resolvido #5

Enunciado

Halliday, Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de física, volume 4: Óptica e Física Moderna, 8ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009, pp 34-63

A Fig.33-62 mostra uma fibra ótica simplificada: um núcleo de plástico ( n 1 = 1,58 ) envolvido por um revestimento de plástico com um índice de refração menor ( n 2 = 1,53 ).

Um raio luminoso incide em uma das extremidades da fibra com um ângulo θ . O raio deve sofrer reflexão interna total no ponto A , onde atinge a interface núcleo-revestimento.

(Isso é necessário para que não haja perda de luz cada vez que o raio incide na interface.)

Qual é o maior valor de θ para o qual existe reflexão interna total no ponto A ?

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

O ângulo de refração do feixe no núcleo de plástico da fibra ótica será:

n a r sen θ = n 1 sen θ 1

Lembrando que o índice de refração do ar é n a r 1 :

sen θ = n 1 sen θ 1

Passo 2

Quando a luz que se propaga no núcleo de plástico e atinge a interface com o revestimento, ela sofre reflexão interna total.

O maior ângulo de incidência para o qual isso ocorre corresponde a um ângulo de refração de 90 ° . Ou seja:

n 1 sen θ i = n 2 sen 90 °

Substituindo os valores dados no enunciado:

  • n 1 = 1,58
  • n 2 = 1,53

sen θ i = n 2 n 1 = 1,53 1,58 0,968

θ i sen - 1 0,968 75,55 °

Passo 3

Agora vamos conectar os dois passos dados.

Para isso, precisamos fazer uma construção geométrica. Vamos ver lateralmente o raio saindo do ar, incidindo no núcleo de plástico e depois no revestimento:

Podemos formar um triângulo retângulo entre o ponto que o raio de luz entra e o ponto que ele sofre reflexão total.

Por isso o ângulo de incidência vai ser θ i = 90 ° - θ 1 . Rearrumando:

θ 1 = 90 ° - θ i 90 ° - 75,55 ° = 14,45 °

Substituindo na nossa primeira equação:

sen θ = n 1 sen θ 1 1,58 sen 14,45 ° 0,394

θ sen - 1 0,394 23,22 °

Resposta

θ 23,22 °

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