Força de Arraste e Velocidade Terminal

Teoria Completa

Aqui neste tipo nós vamos aprender a contar com uma coisa que muitas vezes nós desconsideramos: a força de arraste. Talvez você não lembre direito, mas um tipo muito importante de força de arraste é a resistência do ar, que é desconsiderada em muitos enunciados por aí.

Mas e então? Como conseguimos colocar a nossa força de arraste no equacionamento?

Beleza, vamos por partes. Primeiramente temos que saber como é a expressão de uma força de arraste. Esta força é especial e varia com a velocidade de forma quadrática. Portanto:

F a r r a s t e = 1 2 C ρ A v 2

Onde C é o coeficiente de arraste, ρ é a massa específica do meio, A é a área da seção transversal do objeto e v é a velocidade do objeto.

Lembre-se que a força de arraste está sempre na mesma direção e em sentido contrário à velocidade do corpo que se move no fluído.

Vamos dar uma olhada em um exemplo numérico:

Nosso mascote Dexter, que possui massa 20   k g se joga de uma altura H = 10   m (relaxa que ele é indestrutível, haha) com uma velocidade inicial nula. Se considerarmos que Dexter possui uma área transversal A = 150   c m 2 e que a densidade do ar é ρ = 1,2   k g / m 3 , Qual o valor da velocidade terminal? Considere que o coeficiente da resistência do ar é C = 1,6 .

Para o nosso exemplo, se chamarmos de F R a força de resistência do ar:

F R = 1 2 C ρ A v 2

Portanto, se analisarmos as forças que agem no Dexter, temos:

Portanto, utilizando a análise da imagem e a segunda lei de Newton:

P - F R = m a

Substituindo os valores das forças:

m g - 1 2 C ρ A v 2 = m a

O enunciado nos pede a velocidade terminal, mas que diabos é isso?

Então, podemos perceber que se traçarmos um gráfico que mostre como as duas forças que agem no Dexter variam com o tempo, teríamos:

Então, como a força de resistência é proporcional à velocidade, percebemos que a velocidade cresce até atingir um limite, onde a aceleração é nula e:

F R = P

Substituindo as expressões das duas forças:

1 2 C ρ A v t e r m i n a l 2 = m g

E podemos então ter a expressão para a velocidade terminal:

v t e r m i n a l = 2 m g C ρ A

Substituindo os valores:

v t e r m i n a l = 2   .   20   .   9,8 1,6   .   1,2   .   0,015 = 116,67   m / s = 420   k m / h

Dá pra ver que essa é uma velocidade muito alta, e que, em uma queda de 10   m , provavelmente o Dexter não vai atingir. Mas e se o Dexter incorporasse o DEXTREME e pulasse de pára-quedas? Essa velocidade seria atingida e mantida até ele atingir o chão!

Algum problema? Vá para os exercícios, faça outros problemas e logo logo você vai estar sabendo tudo. Bora lá!

Obs: Às vezes a força de arraste é dada por

F a r r a s t e = - γ v

Nesse caso o procedimento é o mesmo

F a r r a s t e = P → γ v = m g → v t e r m i n a l = m g γ

Expandir

Exercício Resolvido #1

Halliday, David, Fundamentos de física, volume 1 - mecânica, 8 ed. Rio de Janeiro : TLC, 2008, p. 145 ex. 36

A velocidade terminal de um pára-quedista é de 160   k m / h na posição de águia e 310   k m / h na posição de mergulho de cabeça. Supondo que o coeficiente de arrasto C do pára-quedista não mude de uma posição para outra, determine a razão entre a área da seção reta efetiva na posição de menor velocidade e a área na posição de maior velocidade.

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Passo 1

Sabemos que a expressão da velocidade terminal é dada por:

v t e r m i n a l = 2 m g C ρ A

Se isolarmos a área de seção reta:

A = 2 m g C ρ v t e r m i n a l 2

Passo 2

Portanto, para a relação entre as áreas, temos:

A á g u i a A d e   c a b e ç a = 2 m g C ρ v t e r m i n a l ,   á g u i a 2 2 m g C ρ v t e r m i n a l ,   d e   c a b e ç a 2 = v t e r m i n a l ,   d e   c a b e ç a 2 v t e r m i n a l ,   á g u i a 2

Substituindo os valores:

A á g u i a A d e   c a b e ç a = 310 2 160 2 = 3,75

Resposta

3,75

Exercício Resolvido #2

Halliday, David, Fundamentos de física, volume 1 - mecânica, 8 ed. Rio de Janeiro : TLC, 2008, p. 145 ex. 27

Calcule a razão entre a força de arrasto experimentada por um avião a jato voando a 1000   k m / h a uma altitude de 10   k m e a força de arrasto experimentada por um avião com metade da velocidade e a metade da altitude. A densidade do ar é de 0,38   k g / m 3 a 10   k m e 0,67   k g / m 3 a 5   k m . Suponha que os aviões possuem a mesma área de seção reta efetiva e o mesmo coeficiente de arrasto C .

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Passo 1

Sabemos que a expressão da força de arrasto é:

F a r r a s t o = 1 2 C ρ A v 2

Se fizermos a relação:

F 1 F 2 = ρ 1 v 1 2 ρ 2 v 2 2

E substituirmos os valores:

F 1 F 2 = 0,38   .   1000 2 0,67   .   500 2 = 2,3

Resposta

2,3

Exercício Resolvido #3

Halliday, David, Fundamentos de física, volume 1 - mecânica, 8 ed. Rio de Janeiro : TLC, 2008, p. 148 ex. 73

Qual é a velocidade terminal de uma bola esférica de 6,00   k g que possui um raio de 3,00   c m e um coeficiente de arrasto de 1,6 ? A massa específica do ar no loca onde a bola está caindo é 1,20   k g / m 3 .

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Passo 1

Aqui é pura aplicação da fórmula da velocidade terminal:

v t e r m i n a l = 2 m g C ρ A

Substituindo os valores:

v t e r m i n a l = 2   .   6   .   9,8 1,6   .   1,2   .   π   .   0,03 2 = 147   m / s

Resposta

v t e r m i n a l = 147   m / s

Exercício Resolvido #4

Halliday, David, Fundamentos de física, volume 1 - mecânica, 8 ed. Rio de Janeiro : TLC, 2008, p. 147 ex.76

Calcule o módulo da força de arrasto a que está sujeito um míssil de 53   c m de diâmetro voando a 250   m / s em baixa altitude. Suponha que a massa específica do ar é de 1,2   k g / m 3 e o coeficiente de arrasto C é de 0,75 .

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Passo 1

Vamos usar aqui a fórmula da força de arrasto:

F a r r a s t o = 1 2 C ρ A v 2

Substituindo os valores:

F a r r a s t o = 1 2   .   0,75   .   1,2   .   π   .   0,53 2 2   .   250 2 = 6,2   .   10 3   N  

Resposta

F a r r a s t o = 6,2   .   10 3   N

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