Força Centrípeta

Teoria Completa

Um movimento que é analisado também na física clássica é o Movimento Circular Uniforme, MCU. Nele, analisamos uma partícula que realiza uma trajetória circular com velocidade angular constante.

Aqui aprenderemos a analisar as forças que atuam em um corpo que está realizando este tipo de movimento.

Uma pergunta interessante a ser feita é: “Se o corpo mantém uma velocidade constante, como que existem forças agindo nele?”. Vamos explicar considerando dois pontos:

  • A velocidade não é constante, o módulo da velocidade que é constante. Ou seja, a força que existe age na modificação da direção do movimento.
  • Realmente não existem forças que agem na direção do movimento. A força existente é perpendicular à essa direção.

Hã??! Não entendi nada!

Certo, vamos fazer um desenho que as coisas vão ficar mais claras.

Para um corpo permanecer no MCU, ele obrigatoriamente deve estar sob ação de uma força chamada força centrípeta. É essa mesmo que está expressa por uma seta vermelha no desenho acima. Como dito, ela é perpendicular à velocidade, ou seja, aponta sempre para o centro da trajetória circular.

Você precisa saber como calculá-la:

F c p = m v 2 R

Já sabemos o módulo, a direção e o sentido dessa força, portanto, devemos sempre lembrar dela quando a partícula estiver em movimento circular uniforme.

Vamos ver um exemplo de MCU pra ficar bem claro:

Na situação 1, temos o começo do movimento circular. Considerando que a superfície do loop não tem atrito, o diagrama de corpo livre do corpo é:

Aí está a famosa força centrípeta! Nessa situação, ela está, como sempre, apontando para o centro da trajetória circular. No entanto, ela não é uma força a mais, que você pode colocar na segunda lei de newton junto com as outras e tirar o valor dela. Ela é a resultante das forças que atuam na direção que passa pelo centro da trajetória. Portanto:

F c p = N - P

Já na situação 2, temos o corpo no alto da trajetória, apresentando o seguinte diagrama:

Aqui, da mesma maneira que a anterior, a força centrípeta é a resultante das outras duas forças:

F c p = N + P

Mais uma coisa que podemos analisar no movimento de loop, é determinar a velocidade que o corpo deve chegar no topo da trajetória para que este complete o loop.

O que pode acontecer para que a trajetória não seja completa? Concorda que é o corpo perder o contato com a superfície? Portanto, a situação limite é aquela onde o corpo chega na iminência de descolar da superfície quando chega no ápice da trajetória. Ou seja:

F c p = P

Substituindo a força centrípeta e o peso por suas expressões:

m v 2 R = m g

E então, a velocidade necessária é dada por:

v = g R

É isso! Não deixe de praticar!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Halliday, David, Fundamentos de física, volume 1 - mecânica, 8 ed. Rio de Janeiro : TLC, 2008, pp. 142-11

A Fig. 6-18 mostra a trajetória de um carrinho de parque de diversões que passa, com velocidade escalar constante, por cinco arcos circulares de raios R 0 , 2 R 0 e 3 R 0 . Ordene os arcos de acordo com o módulo da força centrípeta que age sobre o carrinho ao passar pelos arcos, começando pelo maior.

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Passo 1

Esta é uma questão puramente conceitual, basta lembrarmos dá fórmula da força centrípeta:

F c p = m v 2 R

Como a massa e a velocidade do carrinho são constantes, temos que a força centrípeta é inversamente proporcional ao raio.

Agora só nos falta saber quais são os raios de cada arco. A imagem abaixo vai facilitar a visualização:

Temos então que:

  • Arco 4 – R 0
  • Arco 3 – 2 R 0
  • Arco 1,2 e 5 - 3 R 0

Resposta

Na ordem decrescente de força centrípeta: 4 > 3 > 1 = 2 = 5

Exercício Resolvido #2

UNICAMP-P1-2014.2A-Q12

Um carro pequeno de massa M viaja em uma pista horizontal. Como ilustrado pela figura abaixo, em certa posição a pista possui um loop, uma circunferência vertical de raio R :

Qual é a aceleração mínima, para que o carro, no topo do loop não perca o contato das suas rodas com a pista?

a) 5   m / s 2 , com o sentido do vetor aceleração para baixo.

b) 5   m / s 2 , com o sentido do vetor aceleração para cima.

c) 10   m / s 2 , com o sentido do vetor aceleração para cima.

d) 10   m / s 2 , com o sentido do vetor aceleração para baixo.

e) 20   m / s 2 , com o sentido do vetor aceleração para cima.

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Passo 1

No topo do loop o carro estará sob a ação das seguintes forças:

No limite, quando o carro está na iminência de perder o contato com a pista, aproximamos N = 0 . Logo aplicando a segunda lei de Newton:

P → = m . a →

m . g → = m . a →

a → = g →

Logo, a aceleração mínima é a aceleração da gravidade. Que é descrito na letra d .

Resposta

Letra d

Exercício Resolvido #3

Elaboração Própria

Homer, que possui massa M , decide se aventurar no Globo da morte. Para isso ele deseja calcular a velocidade que ele pretende ficar para conseguir fazer o movimento. Como ele é “limitado” ele precisa da sua ajuda. Considerando que ele manterá uma velocidade constante v , e o raio do Globo da morte é R , e que o atrito neste caso é desprezível. Considere também que o módulo da aceleração da gravidade é g . Determine

a) a força normal quando a moto passa na parte mais baixa do Globo.

b) a força normal quando a moto passa na parte mais alta do Globo.

c) a velocidade mínima para ele conseguir fazer a volta no Globo.

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Passo 1

Os dados do problema são

D a d o s v R g

Em problemas literais é sempre bom escrever os dados separados para mais tarde conferir se as respostas estão de acordo com esses dados.

a)

Vamos responder as perguntas do passo a passo para colocar as forças

  1. A massa dele é considerada?
  2. Sim, ele tem massa.

  3. Ela esta encostada em alguma superfície?
  4. Sim, o bloco está em contato com o chão.

  5. Tem algum fio?
  6. Não, não existe um fio atuando.

  7. Tem mola?
  8. Não, não existe mola atuando.

  9. Tem atrito?

Não, não existe atrito.

Teremos então o segundo DCL na parte mais baixa do globo

Passo 2

Nesse problema, ele está fazendo uma curva. Então devemos determinar a força resultante na direção do centro da curva, que será a força centrípeta

A força resultante na direção do centro da curva é

F r = F c p = N - P

m v 2 R = N - m g

N = m v 2 R + g

Passo 3

b)

Vamos começar respondendo a pergunta do passo a passo para montar o DCL.

  1. Sim, tem massa.
  2. Sim, ele está apoiado no chão.
  3. Não temos um fio.
  4. Não temos mola.
  5. O atrito é desprezível

Teremos então o segundo DCL na parte mais alta do globo

Passo 4

Nesse problema, ele está fazendo uma curva. Então devemos determinar a força resultante na direção do centro da curva, que será a força centrípeta

A força resultante na direção do centro da curva é

F r = F c p = N + P

m v 2 R = N + m g

N = m v 2 R - g

Passo 5

c)

A velocidade mínima é aquela onde faz a Normal em um dado ponto ser zero. O ponto crítico no globo da morte é na parte mais alta do Globo da Morte, então

N = m v 2 R - g = 0

v 2 R = g

v = g R

Resposta

  1. N = m v 2 R + g
  2. N = m v 2 R - g
  3. v = g R

Exercício Resolvido #4

PUCRIO-P1-B-2012.2 Q2B-letras c e d

Um bonde antigo, trafegando a 20   k m / h , faz uma curva (plana) à direita com 10   m de raio. Neste bonde, existem alças de mão fixas ao teto, com liberdade para inclinar-se em qualquer direção.

c) Vistas por algum passageiro no fundo do bonde, em que direção as alças de mão se inclinam quando o bonde faz a curva? Justifique.

d) Qual é o ângulo que as alças de mão fazem com a vertical?

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Passo 1

c)

Vamos analisar a situação utilizando a primeira lei de Newton. Um corpo que está em movimento em linha reta, vai continuar esse movimento ao menos que forças externas atuem sobre ele. No nosso caso, a alça vai tender a continuar em linha reta, enquanto que o trem irá virar para a direita. Como o observador dentro do trem está virando para a direita junto com o trem, a impressão que dá é de que ele continuou em linha reta e a alça virou para a esquerda. Mas na verdade a alça continuou em linha reta e o trem virou a direita.

Passo 2

d)

A figura mostra o diagrama de corpo livre para a alça. Neste caso, o eixo x é escolhido com o sentido positivo apontado para o centro da curva e o eixo y é a vertical. Assim, o ângulo procurado é o ângulo do vetor T com o eixo y . A segunda lei de Newton neste caso fica:

P → + T → = m a →

Eixo y :

T cos ⁡ θ - P = 0

T cos ⁡ θ = P

No eixo x teremos a força centrípeta:

T sen ⁡ θ = m a c = m v 2 R

Dividindo a equação do eixo x com a do eixo y temos:

T sen ⁡ θ T cos ⁡ θ = m v 2 m g R

tan ⁡ θ = m v 2 m g R

tan ⁡ θ = v 2 g R

Neste caso:

v = 20   k m / h

Passando para m / s , divide-se por 3,6:

v = 5,5   m / s

Então:

tan ⁡ θ = 5,5 2 9,8   .   10

tan ⁡ θ = 0,308

Então:

θ = 17,1 °

Resposta

c) Para a esquerda.

d) θ = 17,1 °

Exercício Resolvido #5

Elaboração Própria

Um aluno, meio nerd, decide fazer uma experiência em uma mesa de ar. Ele solta um cubo de Rubik nessa mesa, preso por um fio que passar por um furo no centro da mesa, e na outra ponta do fio está outro cubo de Rubik, como mostrado na figura. Esse cubo sobre a mesa está realizando um movimento circular, de velocidade angular ω . Determine o raio do movimento considerando que o cubo pendurado está em repouso, e a massa de ambos os cubos é m .

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Passo 1

Normalmente começamos um problema com vários blocos, fazemos o DCL do sistema. Neste caso, como temos o cubo B em repouso e o cubo A se movimentando circularmente, fazer o sistema pode ser algo mais complicado, então iremos montar as equações para cada bloco.

Os dados do problema são

Dados m ω

Em problemas literais é sempre bom escrever os dados separados para mais tarde conferir se as respostas estão de acordo com esses dados.

Para o bloco B

Vamos responder as perguntas do passo a passo para colocar as forças

  1. A massa dele é considerada?
  2. Sim, ele tem massa.

  3. Ela esta encostada em alguma superfície?
  4. Não, o bloco não está apoiado em nenhuma superfície.

  5. Tem algum fio?
  6. Sim, existe um fio.

  7. Tem mola?
  8. Não, não existe mola atuando.

  9. Tem atrito?

Não, não existe atrito.

Seu DCL fica

Passo 2

Como o sistema está em repouso temos equilibro em ambos os eixos. Vamos fazer o equilíbrio no e i x o   y , que é o eixo onde as forças atuam.

P b = T

T = m g

Passo 3

Para o bloco A

Vamos responder as perguntas do passo a passo para colocar as forças

  1. A massa dele é considerada?
  2. Sim, ele tem massa.

  3. Ela esta encostada em alguma superfície?
  4. Sim, o bloco está apoiado na mesa.

  5. Tem algum fio?
  6. Sim, existe um fio.

  7. Tem mola?
  8. Não, não existe mola atuando.

  9. Tem atrito?

Não, não existe atrito, pois o bloco está sobre uma mesa de ar.

Seu DCL fica

Passo 4

Como esse cubo faz um movimento circular, sabemos que a força resultante na direção do centro da curva é a força centrípeta. A única força que está nessa direção é a tração

F c p = T

m v 2 R = m g

Para resolver essa equação precisamos da velocidade.

Passo 5

Lembrando do capitulo de movimento circular podemos relacionar a velocidade com a velocidade angular da seguinte forma

v = ω R

Lembrando que, nesse caso, ω < 0 , pois, pelo desenho, o cubo está se movendo no sentido horário. Isso não vai alterar o resultado final, mas fica aí o bizu!

Passo 6

Substituindo na equação da força centrípeta

m ω R 2 R = m g

ω 2 R = g

R = g ω 2

Resposta

R = g ω 2

Exercício Resolvido #6

Halliday, David, Fundamentos de física, volume 1 - mecânica, 8 ed. Rio de Janeiro : TLC, 2008, pp. 147-57

Um parafuso está enroscado em uma das extremidades de uma haste fina horizontal que gira em torno de outra extremidade. Um engenheiro monitora o movimento iluminando o parafuso e a haste com uma lâmpada estroboscópica, ajustando a frequência dos lampejos até o parafuso parecer estar nas mesmas oito posições a cada rotação completa da haste (Fig. 6-46). A frequência dos lampejos é 2000 por segundo, a massa do parafuso é 30   g e a haste tem 3,5   c m de comprimento. Qual é o módulo da força exercida pela haste sobre o parafuso?

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Passo 1

Neste movimento circular, temos a haste realizando a tração que faz o parafuso continuar na trajetória, por isso, temos que:

T = F c p

Sabemos também que a força centrípeta é dada por:

F c p = m v 2 R

A massa nos foi dada e o raio da trajetória é o comprimento da haste, que também nos foi dado. O que nos falta, é a velocidade que o parafuso se movimenta.

Passo 2

Nos foi dado:

  • Número de piscadas por segundo: 2000 p i s c a d a s s e g u n d o
  • Número de piscadas por volta: 8 p i s c a d a s v o l t a

É interessante para nós descobrir a frequência f do movimento, ou seja, o número de voltas por segundo, certo? Então vamos analisar as unidades dos dados que nos foi dado... Se dividirmos o primeiro pelo segundo dado temos:

f = 2000 p i s c a d a s s e g u n d o   .   1 8 v o l t a p i s c a d a → f = 250   H z

Com a frequência do movimento, conseguimos obter a velocidade angular:

ω = 2 π f → ω = 2   .   π   .   250 → ω = 500 π   r a d / s

Pra finalmente obtermos a velocidade linear:

v = w R → v = 500 π R   m / s

Passo 3

Com o valor da velocidade encontrado, podemos voltar com ele para a expressão da força centrípeta:

F c p = m 500 π R 2 R

Substituindo os valores de m , π e R :

F c p = 30   .   10 - 3 500   .   3,14   .   3,5   .   10 - 2 2 3,5   .   10 - 2 → F c p ≅ 2588,15   N  

Resposta

F c p ≅ 2588,15   N

Exercício Resolvido #7

UNICAMP-Física I-Manhã -P1-2014.2--Questão 11

Dois corpos com massa m 1 e m 2 estão a uma distância d e 2 d de um eixo. O corpo com massa m 1 está conectado por uma mola com constante elástica K ao eixo e o corpo de massa m 2 está conectado ao corpo de massa m 1 por uma mola de constante elástica K . Os corpos estão girando em torno do eixo com uma frequência angular ω , constante. Despreze as massas das molas e o efeito da aceleração gravitacional.

O que ocorre com o aumento gradual de ω ?

a) A mola entre os corpos sempre se rompe primeiro.

b) A mola entre o corpo e o eixo sempre se rompe primeiro.

c) A mola entre os corpos se rompe primeiro, se m 1 > m 2 .

d) A mola entre os corpos se rompe primeiro, se m 1 < m 2 .

e) Ambas, as molas, se rompem ao mesmo tempo.

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Passo 1

O aumento gradual do ω afeta diretamente no aumento gradual da velocidade de acordo com a fórmula:

v = ω . R

Como já estamos careca de saber, teremos que:

F c p = m . v 2 R

E assim:

F c p = m . ω 2 . R

Passo 2

Agora o seguinte: Considerar que a mola vai quebrar dá no mesmo que uma corda quebrar. Ela vai cobrar quando atingir certa força T , ok? Desta forma, fazendo as equações de Newton, teremos:

Para o bloco 1, teremos:

T 1 - T 2 = m 1 . a 1 = m 1 . ω ² d

Para o segundo bloco, vai ficar:

T 2 = m 2 . ω ² . 2 d

Passo 3

Somando os dois encontraremos que:

T 1 = ω ² d [ m 1 + 2 m 2 ]

Mas já sabemos que

T 2 = m 2 . ω ² . 2 d = ω ² d . [ 2 m 2 ]

Passo 4

Desta forma, ao aumentar o ω o cabo onde há tração T 1 vai romper primeiro, já que massa a nunca é negativa ω ² d m 1 + 2 m 2 >   ω ² d . [ 2 m 2 ] , ou seja. T 1 > T 2 . Isso nos diz que a mola entre o bloco 1 e o eixo vai romper primeiro. :P

Resposta

Letra B de Bola.

Exercício Resolvido #8

Halliday, David, Fundamentos de física, volume 1 - mecânica, 8 ed. Rio de Janeiro : TLC, 2008, pp. 145-41

Qual é o menor raio de uma curva sem compensação (plana) que permite que um ciclista a 29   k m / h faça a curva sem derrapar se o coeficiente de atrito estático entre os pneus e a pista é de 0,32 ?

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Passo 1

Esta situação é igual àquela citada na teoria, onde temos um carro entrando em uma curva, no entanto, os dados dados foram diferentes.

O enunciado facilitou nossa vida fornecendo somente o coeficiente de atrito estático. Por que? É comum os alunos confundirem e, para essa situação usar o coeficiente de atrito dinâmico, só porque o corpo está em movimento.

A relação ainda é a mesma:

F c p = F a t

m v 2 R = μ N

Passo 2

Sabemos que somente não há movimento na vertical, ou seja, o ciclista não está pulando e nem dando uma de tatu, perfurando o chão. Portanto, pela segunda lei de Newton:

P - N = 0 → N = m g

Subsituindo na primeira expressão encontrada:

m v 2 R = μ m g → R = v 2 μ g

Agora é só substituir os valores! Lembrando de converter a velocidade dada para m / s , dividindo-a por 3,6 :

R = 29 3,6 2 0,32   .   9,8 → R ≅ 20,7   m

Resposta

R ≅ 20,7   m

Exercício Resolvido #9

UFF-P1-2014.1-10M

Em um dia gelado de inverno, o coeficiente de atrito entre os pneus de um carro e a estrada é reduzido a um quarto do seu valor em dia seco. Como resultado, a rapidez máxim v m á x g e l a d o na qual o carro pode percorrer com segurança a mesma curva de raio R é igual a

a ) v m á x s e c o

b ) 0,71 v m á x s e c o

c ) 0,50 v m á x s e c o

d ) 0,25 v m á x s e c o

e ) reduzida de uma quantidade desconhecida que depende da massa do carro.

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Passo 1

Para determinar a razão entre as velocidades, vamos primeiro determiná-las em função de paramestros conhecidos, ou que possamos cortar no fim!

Para um dia seco:

F c p = m . v m á x s e c o 2 R

A força centrípeta é dada por:

F c p = μ . N

Logo:

v m á x s e c o = μ . N . R m

Para um dia gelado, temos:

F c p = m . v m á x g e l a d o 2 R

Agora, a força centrípeta é:

F c p = μ 4 . N

Logo:

v m á x g e l a d o = μ . N . R 4 . m

A razão será:

v m á x g e l a d o v m á x s e c o = μ . N . R 4 . m . m μ . N . R

v m á x g e l a d o = 0,25 . v m á x s e c o

v m á x g e l a d o = 0,50 . v m á x s e c o

Resposta

( c )

Exercício Resolvido #10

UFRJ-Física 1-P1 2013.2 ME9

Os pneus de um carro de massa M têm coeficiente de atrito estático μ e com a pista horizontal de uma rodovia em uma curva circular de raio R . A velocidade máxima com que o corpo pode fazer essa curva sem derrapar é v m a x . Supondo que o carro faça a curva com velocidade de módulo constante v m a x / 2 , podemos dizer que, nesse caso, a força de atrito estático entre os pneus e a pista tem módulo igual a

  1. μ e M g
  2. M v m a x 2 / 4 R
  3. M v m a x 2 / 2 R
  4. M v m a x 2 / R
  5. μ e M g / 2
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Passo 1

Vamos começar analisando o movimento com velocidade v m á x

Vamos responder as perguntas do passo a passo para colocar as forças

  1. A massa dele é considerada?
  2. Sim, ele tem massa.

  3. Ela esta encostada em alguma superfície?
  4. Sim, o bloco está em contato com o chão.

  5. Tem algum fio?
  6. Não, não existe um fio atuando.

  7. Tem mola?
  8. Não, não existe mola atuando.

  9. Tem atrito?

Sim, existe atrito.

A grande dúvida é para onde ficara o atrito?

Nesse problema se consideramos apenas o peso e a normal teremos forças na vertical, a curva é feita na horizontal, então a curva é feita pela força de atrito. Isso nós diz que a força de atrito aponta para o centro da curva.

OBS:

A força de atrito de uma roda com uma superfície não é considerada a força de atrito dinâmica, mas sim a força de atrito estática. Por quê? Porque a roda não está arrastando no chão, mas sim tocando nele.

O DCL do carro fica

Passo 2

A força de atrito é a única força que atua na direção do centro da curva logo

F a t = F c p

A força centrípeta na primeira situação é

F c p = M v m á x 2 R

Então

F a t = M v m á x 2 R

Passo 3

Quando mudamos o movimento, o DCL fica exatamente igual, porém mudandando a velocidade iremos mudar a força centrípeta, e conseqüentemente a força de atrito. Ainda teremos

F a t = F c p

Vamos calcular a F c p com a nova velocidade

F c p = M v 2 R

F c p = M v m á x / 2 2 R

F c p = M v m á x 2 4 R

Então

F a t = M v m á x 2 4 R

É importante entender que a força de atrito estática NÃO é dada pela fórmula. O que a fórmula nos diz é a força de atrito MÁXIMA.

Resposta

Letra B

Exercício Resolvido #11

UFRJ-Prova Final-2014.2-Múltipla Escolha n°5

Um pêndulo cônico é constituído por uma partícula presa a um fio ideal que faz um ângulo θ com a vertical, de modo que a partícula esteja em movimento circular uniforme em um plano horizontal com o centro da trajetória no ponto C da vertical, como indica a figura. Em um dado instante, em que a partícula está em um ponto P , sua aceleração é um vetor de

(a) módulo g , vertical apontando pra baixo

(b) módulo g cos ⁡ θ , apontando de P pra C

(c) módulo g tan ⁡ θ , apontando de C pra P

(d) módulo g tan ⁡ θ , apontando de P pra C

(e) módulo g cos ⁡ θ , apontando de C pra P

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Passo 1

Num movimento circular, tem a aceleração tangencial, tangente ao movimento, e a aceleração centrípeta, que aponta pro meio da trajetória.

Mas o movimento é circular uniforme! Isso significa que o módulo da velocidade da partícula não varia, então a partícula não tem aceleração tangencial. Portanto, a sua aceleração é só centrípeta.

Ou seja, o vetor aceleração da partícula aponta de P pra C .

Show, só assim de bobeira já eliminamos 3 alternativas!

Passo 2

E já que estamos falando de aceleração, por que não usar a 2ª lei de Newton? As únicas forças atuando na partícula são seu peso P → e a tração no fio T → :

Passo 3

Mas já que a aceleração é só centrípeta, a boa é decompor essas forças pra elas terem uma componente centrípeta. No caso a P → não dá pra decompor porque ela já é perpendicular à direção centrípeta, mas a T → dá!

Vou considerar esse triângulo que tá aparecendo aí na figura de cima. Aplicando uma trigonometria básica, a decomposição da força T → vai ser: