Enunciado

11.16E Um satélite de comunicação tem órbita circular com raio 4,22 × 10 4   km . Calcule a energia por quilograma do satélite gasta para desloca-lo desde a superfície da Terra e colocá-lo em órbita.

Passo 1

Show de bola pessoal, a energia que a gente vai gastar pra colocar esse satélite em órbita vai ser composta pela energia cinética K que vamos imprimir ao satélite, já que para entrar em órbita é necessário uma velocidade v O , além dessa energia cinética também vamos precisar fornecer energia suficiente pra suprir o trabalho negativo W   que a força gravitacional realiza sobre o satélite, de maneira que a energia total E é:

E = K + W

Onde, a energia cinética pra um satélite de massa m é:

K = 1 2 m v O 2

Maaasss, essa velocidade orbital v O pode ser expressa pelo momento onde o satélite começa a descrever uma órbita circular em torno da Terra, ou seja, um movimento circular, e s o movimento é circular, quer dizer que a força centrípeta é igual a força gravitacional, tal que:

F C P = F G

m v O 2 R = G M m R 2

Tal que a velocidade orbital é:

v O 2 = G M R

Portanto a energia cinética é:

K = 1 2 m G M R

Passo 2

Já o trabalho da Força Peso W , como ela é uma força variável, podemos expressar como:

W = ∫ R 1 R 2 F r   d r

Onde F r é a força gravitacional sobre o satélite que varia com o quadrado da distância r entre os corpos, tal que:

F r = G M m R 3 r →

Logo, o trabalho será:

W = ∫ R 1 R 2 G M m R 3 r →   d r

E como G M m R 3 é constante, nossa única variável é r → , tal que:

W = G M m R 3 ∫ R 1 R 2 r →   d r

W = G M m R 3 r 2 2 r = R 1 r = R 2

E como R 2 é a posição final do satélite R 2 = R   m e R 1 é a posição inicial na superfície da Terra como raio igual ao raio da Terra, R 1 = R T , logo:

W = G M m 2 R 3 R 2 - R T 2

Passo 3

Então se a gente juntar todas essas informações que descobrimos, teremos que a energia total gasta pra levar um satélite até uma órbita de raio R é:

E = 1 2 m G M R + G M m 2 R 3 R 2 - R T 2

E como queremos a energia por unidade de massa, isto é, E / kg , basta a gente dividir tudo pela massa m do satélite, tal que:

E m = G M 2 R + G M 2 R 3 R 2 - R T 2

E dando mais uma organizadinha nos termos, obtemos que:

E m = G M 2 R 1 + R 2 - R T 2 R 2

E m = G M 2 R 1 + 1 - R T 2 R 2

E m = G M 2 R 2 - R T 2 R 2

Então, agora sim, substituindo os valores do raio da Terra R T = 6   380   000   m , da distância R = 4,22 × 10 7   m e da massa da Terra M = 5,97 × 10 24   kg , obtemos que:

E m = 6,67 × 10 - 11 5,97 × 10 24 2 4,22 × 10 7 2 - 6   380   000 2 4,22 × 10 7 2

E m = 9,3 × 10 6   J

Resposta

E m = 9,3 × 10 6   J

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