Enunciado

39. Suponha que, na Terra, você consiga dar um pulo de 50   c m de altura. Você conseguiria escapar de um asteróide de 4,0   k m de diâmetro, com massa de 1,0 ⋅ 10 14   k g ?

Passo 1

Vamos pensar em você e o asteroide como um sistema isolado para que a energia mecânica seja conservada e possamos usar a conservação de energia.

Com isso podemos resolver o exercício de forma eficiente usando as informações dadas pelo enunciado.

Então vamos lá

Passo 2

Vamos fazer a conservação de energia assumindo que você consiga escapar. Uma coisa que precisamos ter em mente é que o R f será a soma do raio do asteroide ( R a ) com a distância entre você e o asteroide ( r ) , ou seja:

1 2 m v o c ê v f 2 - G M a m v o c ê R a + r = 1 2 m v o c ê v i 2 - G M a m v o c ê R a

Quando você escapar e houver uma grande separação (grande mesmo hein, tipo r → ∞ ) você não terá mais uma velocidade então nossa conservação de energia ficará:

1 2 m v o c ê v i 2 = G M a m v o c ê R a ⇒ v i 2 = 2 G M a R a

Substituindo os valores dados pelo enunciado:

v i = 2 ( 6,67 ⋅ 10 - 11   N   m 2 / k g ² ) ( 1,0 ⋅ 10 14 k g ) 2,0 ⋅ 10 3   m = 2,58   m / s

Ou seja, você precisa ter uma velocidade mínima de 2,58   m / s para escapar do asteroide. Mas você tem? É isso que vamos descobrir.

Passo 3

Agora vamos calcular a sua velocidade de salto na terra e a equação da conservação de energia será:

1 2 m v i 2 + m g y i = 1 2 m v f 2 + m g y f

Sendo nosso início do movimento no chão (nossa origem) e quando a gente atinge a altura máxima atingimos o repouso vamos ter:

1 2 m v i 2 + 0   J   = 0   J + m g y f

Vamos isolar o v i e susbstituindo os valores que nós temos:

v i 2 = 2 9,8   m / s 0,50 m ⇒ v i = 3,13   m / s

Comparando com o valor que encontramos no Passo 2 podemos ver que você pode escapar do asteroide.

Resposta

Sim!

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