Enunciado

37. Dois meteoros estão se dirigindo à Terra. Ao cruzarem a órbita da Lua, os módulos de suas velocidades valem 2   k m / s .

  1. O primeiro meteoro está se dirigindo diretamente para a Terra. Qual será a sua velocidade de impacto?
  2. O segundo meteoro passa a 5.000   k m de distância da Terra. Quanto vale sua velocidade no ponto mais próximo da Terra?

Passo 1

Para que a energia mecânica seja conservada vamos pensar em um sistema onde a Terra é uma massa esférica e os meteoros são como massas pontuais pois assim teremos um sistema isolado. Com isso podemos usar a conservação de energia.

No item ( a ) o meteoro entra na órbita lunar e vai direto para Terra onde ocorrerá um impacto, já no item ( b ) ele passará a uma certa distância então vamos usar a conservação da mesma forma só que em situações diferentes onde irá mudar um detalhezinho que lá na frente irei explicar.

Então, vem comigo!

Passo 2

a ) Para resolver esse primeiro item vamos fazer a conservação de energia:

1 2 m v i 2 - G M T e r r a m R i = 1 2 m v f 2 - G M T e r r a m R f

Queremos a velocidade de impacto, ou seja, será a velocidade final então vamos isolá-lo e dar uma simplificada na equação.

v f = v i 2 + 2 G M T e r r a 1 R f - 1 R i

Quase todo os valores presentes na equação são tabelados e o v i é dado pelo enunciado, mas quem são R i e R f ? O R i é a distância da Terra quando o meteoro entra na órbita lunar e esse valor também é tabelado pois é simplesmente a distância entre o centro da Terra e a Lua, já R f é simplesmente o raio da Terra já que é o momento do impacto entre a Terra e o meteoro então podemos substituir todos os valores e conseguir a resposta desse item.

v f = v i 2 + 2 G M T e r r a 1 R T e r r a - 1 R T - L = 1,13 ⋅ 10 4   m / s

Passo 3

b ) A diferença desse item é que não irá haver impacto com a Terra e sim passará com 5000   k m de distância, ou seja, nossa R f irá mudar para R f = R T e r r a + 5000   k m .

Fazendo a conservação da energia chegaremos a mesma equação anterior, mas agora com R f diferente.

v f = v i 2 + 2 G M T e r r a 1 R T e r r a + 5000   k m - 1 R T - L = 8,94 ⋅ 10 3   m / s

Com isso terminamos esse item e o exercício.

Resposta

a )     v f = 1,13 ⋅ 10 4   m / s

b )     v f = 8,94 ⋅ 10 3   m / s

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