Enunciado

112. Certo telescópio refletor, construído como indicado na Figura 34 . 55 a , possui um espelho esférico com um raio de curvatura de 96,0   c m e uma ocular com distância focal igual a 1 , 20   c m . Sabendo que o módulo da ampliação angular é 36 e que o objeto está no infinito, encontre a posição da ocular e a posição e natureza (real ou virtual) da imagem final. (Nota: M não é dado por | f 1 / f 2 | , de modo que a imagem formada pela ocular não está no

infinito.)

Passo 1

Então galera para esse problema temos que primeiro saber como é dado o módulo de ampliação M que é dado por:

M = θ ' θ

Onde para essa situação temos o seguinte:

tan ⁡ θ = y 1 ' f 1

tan ⁡ θ ' = y 2 ' s 2 '

Onde esses ângulos são pequenos, com isso pequenos usar aproximação para pequenos ângulos, então temos que:

θ = y 1 ' f 1

θ ' = y 2 ' s 2 '

Onde y 1 ' é altura da imagem formada pelo espelho, f 1 é a distância focal do espelho, y 2 ' é a altura da imagem formada pela ocular e s 2 ' é a distancia entre a ocular e a imagem formada por ela.

Agora só temos que juntar essas informações e ir dando umas mexidas nelas para encontrarmos a posição da ocular, que reparando na imagem ela tem que ser posicionada a uma distância igual a f 1 da imagem logo a posição dela é a soma da posição da imagem com a distância f 1 .

Passo 2

Vamos lá então, vamos juntar o que temos até agora.

Temos que:

M = θ ' θ

⇒ M = y 2 ' / s 2 ' y 1 ' / f 1

⇒ M = y 2 ' s 2 ' f 1 y 1 '

Então galera, nessa montagem de telescópio temos que a imagem criada pelo espelho se torna o objeto para a ocular, então a altura da imagem ( y 1 ' ) é iguala a altura do objeto da ocular ( y 2 ) , assim:

M = y 2 ' s 2 ' f 1 y 2

Dando uma pequena arrumada ficamos com o seguinte:

M = y 2 ' y 2 f 1 s 2 '

Agora vamos nos atentar a razão y 2 ' / y 2 , essa é a razão da altura da imagem com a altura do objeto com relação a ocular, então por semelhança de triângulos podemos falar que essa razão é iguala a razão entre a posição da imagem e a posição do objeto, assim:

M = s 2 ' s 2 f 1 s 2 '

= f 1 s 2

Isolando s 2 já que precisamos dele para encontrar a posição da ocular, temos:

s 2 = f 1 M

A distância focal do espelho é metade do raio de curvatura, então f 1 = 48,0   c m , assim:

s 2 = 48 36

⇒ s 2 = 1,33   c m

Então a posição ( u ) da ocular é dada por:

u = f 1 + s 2

= 48 + 1,33 = 49,33   c m

Passo 3

Agora vamos encontrar a posição da imagem formada pela ocular e ver se ela é virtual ou real, vamos fazer isso através da seguinte equação:

1 s 2 + 1 s 2 ' = 1 f 2

⇒ s 2 ' = s 2 f 2 s 2 - f 2

Substitui9ndo os valores que temos, ficamos com:

s 2 ' = ( 1,33 ) ( 1,2 ) 1,33 - 1,2

= 1,596 0,13

Então temos que:

s 2 = 12,3   c m

Como esse resultado positivo temos que nossa imagem é real.

Resposta

u = 49,3   c m

s 2 = 12,3   c m

A imagem é real.

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