Enunciado

Um objeto e uma tela se encontram a uma distância fixa D . (a) Mostre que uma lente convergente, de comprimento focal f , colocada entre o objeto e a tela, forma uma imagem real do objeto na tela para duas posições da lente separadas por uma distância d = D D - 4 f . (b) Mostre que a razão entre os tamanhos das imagens obtidas com a lente nas duas posições é dada por

D - d D + d 2

Passo 1

Fala galerinha, beleza?

Prontos para mais uma questão de ótica?

Nesse problema, vamos posicionar a lente a uma distância x do objeto e uma distância D - x do anteparo, de modo que

p = x                     i = D - x

Estou seguindo a notação do livro em que p representa a posição do objeto e i a posição da imagem. Muitos livros utilizam p ' ou q no lugar de i .

De posse dessas informações, basta usar a expressão

1 p + 1 i = 1 f

Logo,

1 x + 1 D - x = 1 f

Passo 2

Fazendo o mmc do lado esquerdo:

D - x + x x D - x = 1 f

Multiplicando em cruz:

D f = x D - x 2 → x 2 - D x + f D = 0

Agora basta resolver essa equação de segundo grau em x :

x = D ± D 2 - 4 f d 2

Com isso, achamos duas soluções:

x - = D - D D - 4 f 2

x + = D + D D - 4 f 2

A distância entre as lentes é dada por

d = x + - x -

Assim,

d = D + D D - 4 f 2 - D - D D - 4 f 2

Fazendo as contas, achamos

d = D D - 4 f

Passo 3

No item (b), temos que brincar com o tamanho da imagem em cada caso. Para isso, usamos que

m = h ' h = - i p

Nesse caso, i > 0 , de modo que

h ' h = i p → h ' = i h p

Portanto, podemos escrever em cada caso

h - ' = h i - p             e           h + ' = h i + p

Assim, a razão entre os tamanhos das imagens é

h + ' h - ' = i + i - = D - x + D - x -

Substituindo as expressões de x + e x - :

h + ' h - ' = D - D + D D - 4 f 2 D - D - D D - 4 f 2 = D - D D - 4 f D + D D - 4 f

Ou ainda,

h + ' h - ' = D - d D + d

Detalhe que há um erro no enunciado da questão: a relação que ele pede para mostrarmos é

D - d D + d 2

Acontece que a relação correta é sem o quadrado...

Resposta

Demonstração.

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