Enunciado

A Figura 13.18 mostrou um gráfico de l o g   T versus l o g   r para os dados planetários da Tabela 13.2. Este tipo de gráfico é chamado de gráfico l o g - l o g . As escalas da Figura 13.18 são logarítmicas, e não, lineares, o que significa que cada divisão ao longo do eixo corresponde a um fator de aumento de valor igual a 10. Estritamente falando, as divisões “corretas” do eixo y deveriam ser 7, 8, 9 e 10, pois estes são, respectivamente, os logaritmos de 10 7 , . . . , 10 10 .

  1. Considere duas grandezas u e v relacionadas pela expressão v p = C u q , onde C é uma constante. Os expoentes p e q não são necessariamente números inteiros. Defina x = l o g   u e y = l o g   v .
  2. Encontre uma expressão para y em função de x.

  3. Que forma teria um gráfico de y versus x ? Explique.
  4. Que declividade teria um gráfico de y versus x ? Explique.
  5. A Figura 13.18 mostrou que a curva de “melhor ajuste”, passando por entre os pontos correspondentes aos dados planetários, é dada pela equação l o g   T = 1,500   l o g   r - 9,264 . Esta é uma relação determinada experimentalmente entre l o g   T e l o g   r usando os dados medidos. Esse resultado experimental é consistente com o que você esperaria pela teoria de Newton da gravitação?
  6. Explique.

  7. Use a curva de “melhor ajuste” determinada experimentalmente para encontrar a massa do Sol.

Passo 1

Se liga! Para resolver o item (a) devemos pegar a equação dada

v p = C u q

e aplicar o logaritmo dos dois lados.

log ⁡ v p = log ⁡ C u q  

Pela propriedade de logaritmo temos

p log ⁡ v = log ⁡ C + q log ⁡ C   .       ( 1 )

Como o enunciado nos forneceu que

x = log ⁡ u

y = log ⁡ v

Podemos substituir essas relações na equação (1).

p   y = q log ⁡ C + q   x   .

Isolando y , temos

y = q p   x + log ⁡ C p     ( 2 ) .

Passo 2

Para responder o item (b), devemos observar que como a única variável da equação (2) é x , a equação se assemelha a uma equação do 1º grau, do tipo

y = a x + b

Este tipo de equação é representado por uma reta.

Passo 3

Para responder o item (c) devemos observar que a declividade da função representada pela equação (2) é dada por

q p   .

Passo 4

Para responder o item (d) vamos observar que da teoria de Newton, temos

T 2 = 4 π 2 G M   r 3

Fazendo um paralelo com a equação que nos foi dada

v p = C u q

Chamando

v = T ;

u = r ;

C = 4 π 2 G M .     ( 3 )

Podemos dizer que

p = 2 ;

q = 3 .

Sendo assim, a inclinação da reta será

3 2 = 1,500   .

Portanto a equação dada no enunciado

log ⁡ T = 1,500 log ⁡ r - 9,264 ,

Apesar de não igual a prevista, apresenta o mesmo coeficiente angular. Assim o gráfico do experimento concorda com a previsão, mas necessita de alguns ajustes.

Passo 5

Para responder o item (e) temos que observar que na expressão

y = q p   x + log ⁡ C p

A reta corta o e i x o   y em

y = log ⁡ C p = - 9,264 .

Lembrando que p = 2 e substituindo (3), temos

log ⁡ 4 π 2 G M 2 = - 9,264

4 π 2 G M = 10 - 18,528

M = 4 π 2 G × 10 18,528

Sabendo que

G = 6,67 × 10 - 11 m 3 k g   m 2

Podemos substituir os valores e encontrar

M = 1,99 × 10 30   k g

Este é um bom valor para a medida da massa do Sol.

Resposta

a )   y = q p   x + log ⁡ C p

b )   U m a   f u n ç ã o   d o   1 º   G r a u .         S e r á   u m a   r e t a .  

c )     q p .

d )   O   g r á f i c o   d o   e x p e r i m e n t o   c o n c o r d a   c o m   a   p r e v i s ã o .  

e )     M = 1,99 × 10 30   k g

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