Enunciado

12.11. Uma partícula de massa 3m está localizada a 1,0 m de outra partícula de massa m, a) Onde você deve colocar uma terceira massa M de modo que a força gravitacional resultante sobre M em virtude das duas massas seja exatamente zero? b) O equilíbrio de M é estável ou instável (i) em pontos ao longo da linha que conecta m e 3m, e (ii) em pontos ao longo da linha que passa por M e é perpendicular à linha que conecta m e 3m?

Passo 1

Vamos começar desenhando a situação.

E a gente tem que descobrir onde colocar uma terceira massa M de modo que a força gravitacional resultante seja 0.

Vamos lembrar de como se calcular a força de atração gravitacional

F g = G ⋅ M ⋅ m d 2

Onde M e m são as massas, d é a distância entre os centros de gravidade dos corpos e G é a constante gravitacional universal

6,67408 ⋅ 10 - 11 m 3 k g ⋅ s 2

Passo 2

Bem, a gente pode perceber que a terceira massa tem que estar entre as duas outras massas, porque a soma vetorial tem que ser 0, logo, as forças tem que estar em sentidos opostos, se ela não estiver entre as duas massas as forças gravitacionais vão se somar.

Sabendo disso, a gente pode dizer que a força gravitacional gerada pela interação com a massa de 3 m tem que ser igual a força gerada pela interação da massa de m , logo

G ⋅ M ⋅ 3 m r 1 2 = G ⋅ M ⋅ m r 2 2

Olha só o tanto de coisa que a gente pode cortar, G ,   M e m

3 r 1 2 = 1 r 2 2

Se a gente inverter

r 1 2 3 = r 2 2

Ou ainda

r 1 2 = 3 ⋅ r 2 2

Logo

r 1 = 3 ⋅ r 2

Isso quer dizer que a distância da massa de 3 m tem que ser 3 maior que a distância de r 2 . Como a distância máxima que podemos ter é de 1   m então a gente pode fazer o seguinte

r 1 + r 2 = 1

Mas

r 1 = 3 ⋅ r 2

Logo

3 ⋅ r 2 + r 2 = 1

Então

3 + 1 r 2 = 1

r 2 = 1 3 + 1

Logo

r 2 = 0,366   m

E por tanto

r 1 = 1 - r 2

r 1 = 1 - 0,366 = 0,634 m

Passo 3

Agora a gente tem que resolver o item (b), então precisamos discutir um pouco sobre o que é equilíbrio. Equilíbrio estável é quando um objeto volta a sua posição de equilíbrio após ser afastado dela. Agora em um equilíbrio instável, quando o objeto é afastado da sua posição de equilíbrio, ele vai se afastando cada vez mais.

No caso (i) a massa é movida na linha que ligam as duas massas dos cantos, e nesse caso o equilíbrio é instável, porque se afastarmos a massa M para um dos lados, ela tende a continuar se movendo no sentido que a gente afastou. No caso (ii) a gente move a massa M numa direção perpendicular a linha que ligam as duas massas dos cantos, e nesse caso o equilíbrio é estável, pois se empurrarmos a massa M para cima, ela tende a se mover para baixo, e se empurrarmos ela para baixo, ela tende a se mover para cima.

Resposta

  1. r 1 = 0,634   m r 2 = 0,366   m
  2. (i) Instável

(ii) Estável

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Um medidor supercondutor de gravidade pode medir variações da ordem de Δ g g = 1,00 × 10 - 11 . (a) Você escondido atrás de uma árvore, segurando o medidor, e seu amigo de 80k g se aproxima do outro l
Calcule a massa da terra usando os valores conhecidos de G ,g e R T .
Quatro planetas idênticos formam um quadrado, como mostrado na Figura 11-20. Se a massa de cada planeta é M e o lado do quadrado tem comprimento a , qual deve ser a rapidez de cada planeta, se eles de
Urano, o sétimo o planeta do sistema solar, foi observado pela primeira vez em 1781 por William Herschel. Sua órbita foi, então, analisada em termos da lei de Kepler. Nos anos de 1840, observações de
Uma sonda espacial de 3,0 kg experimenta uma força de 12Ni ^ , ao passar pelo ponto P . Qual é o campo gravitacional no ponto P ?