Enunciado

12.32. Planeta Vulcano. Suponha que houvesse sido descoberto um planeta entre o Sol e Mercúrio, com uma órbita circular de raio igual a 2/3 do raio orbital de Mercúrio. Qual seria o período orbital desse planeta? (Antigamente acreditava-se que esse planeta existisse, para explicar a precessão da órbita de Mercúrio. Chegou-se mesmo a batizá-lo de Vulcano, embora hoje em dia não se tenha nenhuma evidência de que ele realmente exista. A precessão de Mercúrio é explicada pela relatividade geral.)

Passo 1

Bem, para descobrir o período de um planeta a gente pode usar a terceira lei de Kepler, que nos dá o período a partir do raio orbital médio e da massa do corpo que o planeta orbita, a partir da equação:

T = 2 π r 3 2   G M

E podemos pegar os dados de r (raio orbital médio de Mércurio) e M (massa do Sol) nos apêndices no final do livro:

r = 5,79 × 10 10 m   M é r c u r i o

M = 1,99 × 10 30 k g   ( S o l )

E aí é só substituir e encontrar nosso período.

(essa é uma forma de fazer, lá no Passo 3 vou te mostrar outra forma de fazer, mais rápida e que chega no mesmo resultado!)

Passo 2

Agora a gente tem a equação para o período, basta substituir os valores. O raio orbital de mercúrio, a massa do Sol e a constante gravitacional estão todos no Apêndice do livro, é só a gente dar uma olhadinha

T = 2 π 2 3 5,97 ⋅ 10 10 3 2   6,67 ⋅ 10 - 11 ⋅ 1,99 ⋅ 10 30

Agora é só resolver essa continha

T = 4135912.76   s

Nossa que número enorme! Vamos colocar o tempo em dias para ficar melhor

T = 2486697380 60 * 60 * 24 ≈ 47,8   d i a s

Passo 3

E aí, curioso para saber a outra forma de resolver? Hahaha

Se liga, a terceira lei de Kepler geralmente é usada para indicar para a gente que existe uma proporção que é:

T 2   α   R 3   α   M - 1

Nesse caso, a massa do nosso corpo central não vai alterar, vai continuar sendo o Sol, o que vai mudar é o raio da órbita e o período (comparando mercúrio com o planeta fictício Vulcano).

Vou escrever essa proporção, para Vulcano e para Mercúrio:

T v 2 = k R v 3

T m 2 = k R m 3  

Dividindo uma equação pela outra, ficamos com:

T v 2 T m 2 = R v 3 R m 3

Sabemos que o raio médio de Vulcano é 2/3 do raio médio de mercúrio ( R v = 2 3 R m ) e como queremos o período de Vulcano, vamos coloca-lo em evidência:

T v 2 = T m 2 × 2 3 R m 3 R m 3

T v 2 = T m 2 × 8 27 R m 3 R m 3

T v 2 = T m 2 × 8 27

Tirando a raíz...

T v = T m × 0,54433

E o período orbital de mércurio ( T m ) é um valor que podemos pegar no apêndice do livro ( T m = 88,0   d i a s ):

T v = 88 × 0,54433 ≈ 47,9   d i a s

Deu bem parecido com o período do método anterior, a diferença pode ser explicada por conta de aproximações feitas nos valores dados na tabela do livro. Agora já sabe, quando cair algo assim, tem dois jeitos de resolver!

Resposta

T ≈ 47,9   d i a s

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