Enunciado

12.34. Em março de 2006, foram descobertos dois pequenos satélites orbitando Plutão, um deles a uma distância de 48000 km e o outro a 64000 km. Já se sabia que Plutão possuía um grande satélite, Caronte, orbitando a 19600 km com um período orbital de 6,39 dias. Supondo que os satélites não se afetam um ao outro, encontre os períodos orbitas dos dois satélites sem usar a massa de Plutão.

Passo 1

O exercício colocou uma condição bem clara: não podemos usar a massa de Plutão para calcular os períodos!

Mas a gente pode usar uma relação que envolve a massa. Olha só a gente pode fazer o seguinte, o período se calcula do seguinte modo

T = 2 π r 3 2 G M

Vamos manipular um pouco a equação, para deixar assim

T r 3 2 = 2 π G M

Isso é interessante pra gente porque para todos os satélites 2 π G M tem o mesmo valor, então a gente pode usar essa relação. O exercício nos dá os dados de período e raio orbital do maior satélite. A gente pode usar esses dados para calcular a constante

6,39 19600 3 2 = 3,26 ⋅ 10 - 4 d k m

Agora a gente sabe o valor da período dividido pelo raio de qualquer satélite que orbite Plutão.

É importante notar também que a unidade está em d k m , assim a gente consegue tirar o período em dias.

Passo 2

Beleza, agora a gente tem tudo para calcular o período orbital dos dois satélites. Vamos começar calculando do satélite mais perto da superfície de Plutão

T 48000 3 2 = 3,26 ⋅ 10 - 4

Então

T = 3,26 ⋅ 10 - 4 ⋅ 48000 3 2

Isso vai dar

T = 3428   d i a s

Agora vamos para o outro satélite que está ainda mais longo de Plutão

T 64000 3 2 = 3,26 ⋅ 10 - 4

Então

T = 3,26 ⋅ 10 - 4 ⋅ 64000 3 2

Isso vai dar

T = 5278   d i a s

Resposta

3428 dias e 5278 dias respectivamente.

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