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13.11E Calcule o módulo dos números: z 1 = 4,0 + 3,0 i ,   z 2 = 15 e i ϕ ,   z 3 = 20 i cos ⁡ 30 ° + sin ⁡ 60 ° .

Passo 1

Belezera pessoal, a representação de Euler nos diz que um número complexo da forma:

z = a + i b

Pode ser representado como:

z = z e i ϕ

Onde z é o módulo de z dado por:

z = a 2 + b 2

Passo 2

Iradoso, então para o primeiro número, temos:

z 1 = 4,0 + 3,0 i

Onde a = 4,0 e b = 3,0 . Sendo assim, o módulo desse número será:

z = a 2 + b 2

z 1 = 4 2 + 3 2

Logo:

z 1 = 25

z = 5,0

Passo 3

Belezoca, agora no segundo número, o enunciado nos forneceu:

z 2 = 15 e i ϕ

E esse daqui a gente nem precisa fazer conta né, como esse número complexo está na representação de Euler, que é da forma:

z = z e i ϕ

Teremos que:

z 2 = 15 e i ϕ ,     z 2 = z e i ϕ

15 e i ϕ = z e i ϕ

Logo:

z 2 = 15,0

Passo 4

Agora para o terceiro número, temos:

z 3 = 20 i cos ⁡ 30 ° + sin ⁡ 60 °

E nesse caso, os valores serão a = 20 sin ⁡ 60 ° e b = 20 cos ⁡ 30 ° , logo:

z 3 = a 2 + b 2

z 3 = 20 sin ⁡ 60 ° 2 + 20 cos ⁡ 30 ° 2

Portanto:

z 3 = 24,5

Resposta

z = 5,0 ,     z 2 = 15,0 ,     z 3 = 24,5

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