Enunciado

67. Uma moeda de centavo encontra-se sobre o topo de um pistão enquanto efetua um movimento harmônico simples com 4,0   c m de amplitude. Se a freqüência for baixa, a moeda sobe e desce sem dificuldade. Se a freqüência for gradualmente aumentada, chega um momento em que a moeda perde contato com a superfície do pistão.

a. Em que ponto do ciclo a moeda perde contato com o pistão pela primeira vez?

b. Qual é a frequência máxima possível se a moeda deve permanecer sobre o pistão durante o ciclo inteiro?

Passo 1

Opa! E aí brother! Aqui vamos nós de novo!

Se liga só! A primeira coisa que devemos fazer, é um esboço pra representar melhor o que está acontecendo

E aqui está nossa bela figura...

Em seguida, bora fazer o diagrama de corpo livre para a moeda, representando as forças que estão atuando nela...

Passo 2

Aí já sabe o que tem que fazer, né companheiro!?

Partiu usar a segunda lei de Newton pro eixo y ...

∑ F y = m a y

F r e s u l t a n t e = n - F G = m a y

Agora foco nesse relação!

Se a força resultante, F r e s u l t a n t e , está para cima na parte inferior do ciclo (positivo), isso só pode significar uma coisa...

n > F G = m g

A velocidade é máxima ao passar pelo ponto de equilíbrio! E como todo M H S , sabemos que nesse ponto a resultante das forças é nula e não há aceleração. Logo a y = 0 e também...

n = m g

O ponto crítico é o ponto mais alto. F r e s u l t a n t e aponta para baixo e a y é negativo. Se a y se tornar suficientemente negativo, a normal n cai para zero e a moeda não está mais em contato com a superfície. Esse é o ponto do ciclo em que a moeda perde contato com o pistão pela primeira vez

Passo 3

Bem! Pelo exemplo anterior, vimos que há um ponto na oscilação onde a moeda perde contato com o pistão e nesse ponto a normal n vale zero...

n = 0

Sendo assim, como só temos força gravitacional agindo nesse instante, a única possibilidade da moeda não sair do pistão é que sua aceleração seja igual a da gravidade, em sentido contrário pra rivalizar com a força peso.

Logo;

a m á x = g

E como sabemos que a aceleração é o produto da amplitude pelo quadrado da frequência angular...

a m á x = A ω 2

g = A ω 2

ω = g A

E sabendo também da outra fórmula abaixo que relaciona ω com a frequência f em H z ;

ω = 2 π f

f = ω 2 π

f = g A 2 π

f = 1 2 π ⋅ g A

f = 1 2 π ⋅ 9,81   m / s ² 0,040   m

f ≅ 2,5   H z

Finalmente obtemos a frequência angular máxima possível para a moeda permanecer sobre o pistão durante toda a oscilação.

Resposta

f ≅ 2,5   H z

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