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13.12E Coloque os números z 1 = 10 + 8,67 i ,     z 2 = 20 sin ⁡ 240 ° + i cos ⁡ 210 ° na representação de Euler.

Passo 1

Belezera pessoal, a representação de Euler nos diz que um número complexo da forma:

z = a + i b

Pode ser representado como:

z = z e i ϕ

Onde z é o módulo de z dado por:

z = a 2 + b 2

Enquanto o ângulo ϕ pode ser relacionado como:

tan ⁡ ϕ = b a

Iradoso, agora que a gente sabe que tudo que precisamos pra representar um número complexo na forma de Euler, bora lá aplicar nos nossos exercícios.

Passo 2

Saca só galerinha, o primeiro número complexo é:

z 1 = 10 + i 8,67

Então temos que a = 10 e b = 8,67 , sendo assim teremos que:

z = 10 2 + 8,67 2

z = 13,2

E o ângulo será:

tan ⁡ ϕ = 8,67 10

ϕ = arctan ⁡ 0,867

ϕ = 0,714   r a d

Portanto, podemos expressar o número da forma de Euler tal que:

z 1 = 13,2 e i 0,714

Passo 3

Iradoso, agora para o segundo número, temos:

z 2 = 20 sin ⁡ 240 ° + i cos ⁡ 210 °

Dessa forma, temos que a = 20 sin ⁡ 240 ° e b = 20 cos ⁡ 210 ° . Sendo assim, obtemos que:

z = 20 sin ⁡ 240 ° 2 + 20 cos ⁡ 210 ° 2

z = 24,5

Enquanto o ângulo será:

ϕ = arctan ⁡ 20 cos ⁡ 210 ° 20 sin ⁡ 240 °

ϕ = arctan ⁡ 1

ϕ = π 4

Portanto a representação será:

z 2 = 24,5 e i π 4

Resposta

z 1 = 13,2 e i 0,714 ,     z 2 = 24,5 e i π 4

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