Enunciado

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12.16P Uma esfera de densidade ρ e = 2,7 × 10 3   kg/m³ e raio R = 0,25   cm submerge em um poço de água profundo. Devido ao empuxo da água sobre a esfera, sua densidade aparente (diferença entre as densidades da esfera e da água) é ρ = 1,7 × 10 3   kg/m³ . A) Estime a velocidades termina da esfera. B) Estime o número de Reynolds correspondente à velocidade terminal. Sugestão: Suponha que o coeficiente de arraste seja C = 0,4 , e verifique a suposição a posteriori.

Passo 1

Belezera galera, sabemos que a velocidade terminal vai ocorrer quando a força de atrito for igual a força que atua sobre o corpo, no nosso caso a força da gravidade, logo:

F G = F A

Nesse caso, obtemos a seguinte igualdade:

m g = 1 2 C A ρ a v T 2

Onde v T é nossa querida velocidade terminal, enquanto ρ a é a densidade do meio onde a esfera está inserida, no caso a água. E por outro lado, a massa m da esfera pode ser expressa como:

m V = ρ

m = V ρ

De forma que esse ρ , devido ao empuxo, pode ser tratado como a densidade aparente ρ = 1,7 × 10 3   kg/m³ , tal que podemos expressar a massa como:

m = 4 3 π R 3 ρ

Passo 2

Show de bolinhas, agora a área A , pode ser expressa em termos do raio, tal que:

A = π R 2

E juntando todas essas informações, obtemos que:

m g = 1 2 C A ρ a v T 2

4 3 π R 3 ρ g = 1 2 C π R 2 ρ a v T 2

E se a gente isolar a velocidade terminal no meio dessa bagunça toda ai, vamos ter que:

8 3 R ρ g = C ρ a v T 2

v T 2 = 8 3 R g ρ C ρ a

v T = 8 3 R g ρ C ρ a

Portanto, se a gente substituir pelas informações do enunciado, teremos que:

v T = 8 3 0,0025 10 1,7 × 10 3 0,4 1,0 × 10 3

Isso é aproximadamente:

v T ≈ 0,6   m/s

Passo 3

Belejóia, agora para calcular o número de Reynolds, usamos a fórmula:

Re = ρ L η v

Onde η é a viscosidade da água dada por η = 1 × 10 - 3   Ns/m² , enquanto L é a dimensão típica de uma esfera dada pelo seu diâmetro L = 0,005   m . Sendo assim, o número de Reynolds será:

Re = 1 × 10 3 0,005 1 × 10 - 3 0 , 6

Re ≈ 3 × 10 3

Logo, como Re > 100 , a aproximação para C é aceitável.

Resposta

  1. v T ≈ 0,6   m/s
  2. Re ≈ 3 × 10 3

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