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13.15E Um oscilador amortecido definido pelos parâmetros ω 0 = 1,00 × 10 6   s -1 , γ = 5,00   s -1 oscila livremente. A) Que fração de sua energia o oscilador perde em cada ciclo? B) em quantos ciclos o oscilador perde a metade de sua energia inicial? C) Qual é o fator de qualidade do oscilador?

Passo 1

Show de bola galera, vimos que quando γ < 2 ω 0 temos um oscilador amortecido. E nesse caso a energia mecânica do sistema é dada pela equação:

E t = 1 2 k A 2 e - γ t

Ou também podemos expressar como:

E t = E 0 e - γ t

Isso quer dizer que a energia mecânica do sistema no tempo t , E t , é proporcional a energia do momento inicial E ( 0 ) de acordo com um fator e - γ t . Em outras palavras, temos que o responsável direto por diminuir a energia mecânica é o fator e - γ t . Pois então bora analisar ele.

Passo 2

Como queremos o fator de decaimento para cada ciclo, temos que o tempo t será o tempo total de um ciclo T , onde esse período T é dado pela expressão:

T = 2 π ω

Portanto, nosso fator de decaimento e - γ t pode ser reescrito como:

e - γ t = e - γ 2 π ω

Logo:

e - γ 2 π ω = e - 5 2 π 1 × 10 6

e - γ 2 π ω = 0,999968 6

Ou seja, a cada ciclo, a energia mecânica está sendo multiplicada por 0,999968 6 , assumindo 99,99686   % do seu valor inicial, quer dizer que ela diminui uma fração de:

f = 1 - 0,9999686

f = 3,14 × 10 - 5

Passo 3

Iradoso, agora pra gente descobrir quantos ciclos vai levar para diminuir a energia mecânica inicial pela metade, devemos lembrar que energia inicial é E 0 , enquanto a energia mecânica depois de um certo tempo t pe:

E t = E 0 e - γ t

Então temos a igualdade:

E 0 e - γ t = E 0 2

e - γ t = 1 2

E como queremos o número n de ciclos que ele perde essa energia, temos que:

T n = n 2 π ω

Então esse será o nosso tempo gasto, tal que:

e - γ n 2 π ω = 1 2

E agora isolando o n , temos que:

e γ n 2 π ω = 2

γ n 2 π ω = ln ⁡ 2

n = ω ln ⁡ 2 2 π γ

Portanto, temos que o número de ciclos, será:

n = 1 × 10 6 × ln ⁡ 2 2 π 5

n = 2,21 × 10 4

Passo 4

E agora na letra (C) queremos o fator de qualidade, que na verdade é dado pela fórmula:

Q = ω γ

Então:

Q = 1 × 10 6 5

Q = 2 × 10 5

Resposta

  1. f = 3,14 × 10 - 5
  2. n = 2,21 × 10 4
  3. Q = 2 × 10 5

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