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Enunciado

13.2E O movimento de um oscilador harmônico é descrito por x = 0,75   cm   . cos ⁡ ( 5,0   t/s ) - 0,40   cm   . sen ⁡ 5,0   t/s . Escreva este movimento na forma de x = x m cos ⁡ ω t + ϕ .

Passo 1

Belezera galerinha, queremos transformar a função:

x = 0,75   cm   . cos ⁡ ( 5,0   t/s ) - 0,40   cm   . sen ⁡ 5,0   t/s

Em algo do tipo:

x = x m cos ⁡ ω t + ϕ

Mas pera lá meu patrão, a gente só precisa reorganizar esses termos, e como estamos falando de função trigonométrica, podemos encontrar alguma relação pra ajudar a gente, bora aqui comigo

Passo 2

Iradoso, então saca só, a malandragem aqui é a gente partir do final. Sabemos que o final da expressão que a expressão que temos é:

x = 0,75   cm   . cos ⁡ ( 5,0   t/s ) - 0,40   cm   . sen ⁡ 5,0   t/s

De uma forma geral, podemos expressar ela como:

x = a cos ⁡ ( x ) - b sen ⁡ x

E queremos chegar na expressão da forma;

x = x m cos ⁡ ω t + ϕ

Pra ficar mais bonitinho, vamos chamar ω t = u e ϕ = v , logo:

x = x m cos ⁡ u + v

E agora podemos com toda sagacidade do mundo a usar a relação trigonométrica do cosseno da soma dos ângulos, tal que:

x = x m cos ⁡ u cos ⁡ v - sen ⁡ u sen ⁡ v

x = x m cos ⁡ u cos ⁡ v - x m sen ⁡ u sen ⁡ v

Logo, voltando para as variáveis iniciais, temos:

x = x m cos ⁡ ω t cos ⁡ ϕ - x m sen ⁡ ω t sen ⁡ ϕ

x = x m cos ⁡ ϕ cos ⁡ ω t - x m sen ⁡ ϕ sen ⁡ ω t

Passo 3

Belejóia, a sagacidade agora é a gente perceber a semelhança entre as expressões:

x = a cos ⁡ ( x ) - b sen ⁡ x

x = x m cos ⁡ ϕ cos ⁡ ω t - x m sen ⁡ ϕ sen ⁡ ω t

Temos que ω t = x e além disso:

a = x m cos ⁡ ϕ

b = x m sen ⁡ ϕ

Então podemos fazer:

b a = x m sen ⁡ ϕ x m cos ⁡ ϕ

b a = sen ⁡ ϕ cos ⁡ ϕ

Tal que:

tan ⁡ ϕ = b a

Dessa maneira, o nosso ângulo de fase é:

ϕ = arctan ⁡ b a

Passo 4

Belezoca, agora pra gente encontrar esse tal de x m , podemos usar de toda malicia do mundo, saca só.

Podemos fazer a 2 + b 2 , tal que:

a 2 + b 2 = x m cos ⁡ ϕ 2 + x m sen ⁡ ϕ 2

a 2 + b 2 = x m 2 cos 2 ⁡ ϕ + x m 2 sen 2 ⁡ ϕ

a 2 + b 2 = x m 2 cos 2 ⁡ ϕ + sen 2 ⁡ ϕ

E como temos a relação trigonométrica fundamental cos 2 ⁡ ϕ + sen 2 ⁡ ϕ = 1 , obtemos:

a 2 + b 2 = x m 2

Logo:

x m = a 2 + b 2

Passo 5

Maravilha, agora sim podemos juntar tudo. Então relembrando, temos a expressão:

x = 0,75   cm   . cos ⁡ ( 5,0   t/s ) - 0,40   cm   . sen ⁡ 5,0   t/s

Que chamamos de:

x = a cos ⁡ ( x ) - b sen ⁡ x

Onde a = 0,75   cm , b = 0,40   cm e 5,0   s -1 = x . E queríamos escrever essa relação através de uma expressão do tipo:

x = x m cos ⁡ ω t + ϕ

E pra isso, nessa releitura, descobrimos que:

x m = a 2 + b 2

ϕ = arctan ⁡ b a

Dessa maneira, temos:

x m = 0,75 2 + 0,4 2

x m = 0,85   cm

E também:

ϕ = arctan ⁡ 0,4 0,75

ϕ = 28,1 °

Portanto, podemos reescrever a expressão como:

x = x m cos ⁡ ω t + ϕ

x = 0,85 cos ⁡ 5,0   t/s + 28,1 °

Resposta

x = 0,85 cos ⁡ 5,0   t/s + 28,1 °

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