Enunciado

127. Determine o período τ para pequenas oscilações do conjunto composto por duas barras leves e duas partículas, cada uma de massa m . Examine a sua expressão quando o ângulo α se aproxima dos valores 0 ° e 180 ° .

Passo 1

Bom, primeiro vamos fazer o diagrama de corpo livre do sistema:

Passo 2

Agora, vamos fazer o somatório de momentos em relação ao ponto O :

∑ M 0 = I 0 θ ¨

Lembrando que θ ¨ = α e que o momento de inércia I 0 será 2 m l 2 .

- m g l ⋅ s e n α 2 + θ + m g l ⋅ s e n α 2 - θ = 2 m l 2 θ ¨   ( I )

Passo 3

Então, devemos lembrar a soma e subtração de arcos para o s e n :

s e n α 2 + θ = s e n α 2 ⋅ cos ⁡ θ + c o s α 2 ⋅ sen ⁡ θ

Mas, para um θ pequenos, temos que lembrar que s e n ( θ ) ≅ θ e c o s θ ≅ 1 . Assim a fórmula do da soma de arcos fica:

s e n α 2 + θ = s e n α 2 + θ ⋅ c o s α 2

Para a diferença de arcos, apenas mudará o sinal:

s e n α 2 - θ = s e n α 2 ⋅ cos ⁡ θ - c o s α 2 ⋅ sen ⁡ θ

s e n α 2 + θ = s e n α 2 - θ ⋅ c o s α 2

Passo 4

Com isso, vamos substituir os valores encontrados na equação ( I ) :

- m g l ⋅ s e n α 2 + θ ⋅ c o s α 2 + m g l ⋅ s e n α 2 - θ ⋅ c o s α 2 = 2 m l 2 θ ¨

Distribuindo as multiplicações:

- m g l ⋅ s e n α 2 + m g l ⋅ s e n α 2 - m g l ⋅ θ ⋅ c o s α 2 - m g l ⋅ θ ⋅ c o s α 2 = 2 m l 2 θ ¨

- 2 m g l ⋅ θ ⋅ c o s α 2 = 2 m l 2 θ ¨

θ ¨ + g l ⋅ c o s α 2 θ = 0

E essa é a equação de movimento harmônico do sistema.

Passo 5

Relembrando que a equação de movimento harmônico genérica é da forma:

θ ¨ + ω n 2 θ = 0

Onde ω n é a frequência natural do sistema e comparando com a nossa equação de movimento, então:

ω n = g l ⋅ c o s α 2

Passo 6

Finalmente, lembrando que a fórmula para o período τ é:

τ = 2 π ω n

∴ τ = 2 π l g ⋅ c o s α 2

Analisando para cada ângulo pedido.

Para α = 0 ° :

c o s α 2 = c o s 0 ° 2 = 1

∴ τ = 2 π l g

Para α = 180 ° :

c o s α 2 = c o s 180 ° 2 = 0

Isso faz com que o denominador da equação fique igual a zero.

∴ τ → ∞

Resposta

Para um ângulo α = 0 ° , o período τ será

τ = 2 π l g

Já para um ângulo α = 180 ° , o período τ será:

τ → ∞

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