Enunciado

138- Uma mulher é capaz de fazer um barco a remo atingir uma velocidade de 6,40 km/h em água parada.

(a) Se a mulher está atravessando um rio no qual a correnteza tem uma velocidade de 3,20 km/h, em que direção deve apontar a proa do barco para chegar em um ponto diretamente oposto ao ponto de partida?

(b) Se o rio tem 6,40 km de largura, quanto tempo a mulher levará para atravessar o rio?

(c) Suponha que, em vez de atravessar o rio, a mulher reme 3,20 km rio abaixo e depois reme de volta ao ponto de partida. Quanto tempo ela levará para completar o percurso?

(d) Quanto tempo levará para remar 3,20 km rio acima e depois remar de volta ao ponto de partida?

(e) Em que direção deve apontar a proa do barco para atravessar o rio no menor tempo possível? Qual será, nesse caso, o tempo de percurso?

Passo 1

A velocidade imposta pela mulher no barco em água corrente é a mesma que se fosse em água parada.

Para a letra a temos a seguinte representação de velocidades para que a mulher consiga chegar no ponto diagonalmente oposto.

Assumindo que a correnteza está indo com sentido da esquerda para a direita, o barco deverá apontar seu bico na diagonal para a esquerda de modo que a componente horizontal de sua velocidade anule com a da correnteza, ou seja:

6.4 sin ⁡ θ = 3.2

θ = sin - 1 ⁡ 3.2 6.4 = 30 °

Isso é, o barco tem que estar apontado 30° em relação a vertical de encontro a correnteza.

Passo 2

b) Como o rio agora tem 6.4   k m de largura temos:

E a velocidade de atravessamento vale:

v = 6.4 cos ⁡ θ

Onde θ = 30 ° , e a velocidade é uniforme perante toda a sua trajetória então.

v = s t

6.4 cos ⁡ 30 k m h = 6.4 [ k m ] t

t = 6.4 6.4 cos ⁡ 30 = 1.15   h = 69.3   m i n

Passo 3

c) Agora a mulher não quer mais atravessar o rio, ela percorrerá o rio perpendicularmente o rio da forma como está representado na figura abaixo:

A mulher agora vai de A para B de modo que ela está a favor da correnteza, onde a velocidade do barco vale:

v A B = 6.4 + 3.2

E o tempo de percurso t 1   valerá:

v A B = s t 1 → t 1 = 3.2 6.4 + 3.2

E depois ela volta, contra a correnteza, onde a velocidade agora vale:

v B A = 6.4 - 3.2

Logo o tempo t 2 de percurso nesse percurso vale:

v B A = s t 2 → t 2 = 3.2 6.4 - 3.2

Logo o tempo total de viagem vale:

t = t 1 + t 2 = 3.2 6.4 + 3.2 + 3.2 6.4 - 3.2 = 1.333   h = 80   m i n

Passo 4

d) Para a letra d, a mulher faz a mesma distância só que dessa vez ela começa contra a correnteza até o ponto B , depois volta para o ponto A a favor da correnteza. Isso não muda o tempo que foi calculado da questão anterior:

t = 3.2 6.4 - 3.2 + 3.2 6.4 - 3.2 = 1.333   h = 80   m i n

Passo 5

e) Para atravessar o rio no menor tempo possível a velocidade em direção a outra margem dve ser a maior possível e isso só acontece quando θ = 0 , uma vez que 6.4 > 6.4 sin ⁡ θ   para qualquer θ diferente de zero.

O tempo de percurso será igual a:

v = s t

6.4   k m h = 6.4 t → t = 1   h = 60   m i n

Essa afirmação pode ser provada encontrando a fórmula do tempo, que será:

t = 6.4 6.4 cos ⁡ θ = 1 cos ⁡ θ

Derivando essa equação em relação a θ e igualando a zero temos:

d t d θ = sec ⁡ x   tan ⁡ x = s e n   x cos 2 ⁡ x = 0

Essa fração só será zero quando o numerador for zero, e ela só pode ser quando θ = 0 , uma vez que para θ = 180 a mulher não remará no rio.

Resposta

a )   30 °   e m   r e l a ç ã o   a   v e r t i c a l ,   c o n t r a   a   c o r r e n t e z a .  

b )   t = 1.15   h = 69.3   m i n

c )   t = 1.33 h = 80   m i n

d )   t = 1.33 h = 80   m i n

e ) θ = 0 ; t = 1   h = 60   m i n

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