Enunciado

Um jogador de beisebol lança uma bola para o recebedor do seu time em uma tentativa de jogar um corredor para fora da base. A bola ricocheteia uma vez antes de chegar ao recebedor. Assuma que o ângulo no qual a bola sai do chão é o mesmo com que o jogador lançou a bola, como mostrado na Figura P3.50, mas que a velocidade da bola após o salto é metade do que era antes do salto. 

Assuma que a bola é lançada sempre com a mesma velocidade inicial e ignore a resistência do ar. Em que ângulo o jogador deveria jogar a bola para que ela percorresse a mesma distância D com um ricochete (trajetória pontilhada inferior) como uma bola jogada para cima a 45,0° sem ricocheteio (trajetória pontilhada superior)?

Determine a relação entre o intervalo de tempo para o lançamento com um ricocheteio e o tempo de voo para o lançamento sem ricochete.

Passo 1

Amores, vamos começar escrevendo uma equação envolvendo a distância D a partir da velocidade de deslocamento horizontal da bola, que é sempre constante, por ser um movimento uniforme.

A gente pode escrever isso aqui:

v x = D t

Onde v x é a velocidade de deslocamento horizontal e t é o tempo de deslocamento.

Só que a gente sabe de exercícios anteriores que podemos escrever v x melhor assim, a partir do esqueminha a seguir:

Logo, v x = v ∙ cos ⁡ θ , em que v é a velocidade original de lançamento da bola, beleza? Mas como nesse caso θ = 45 ° , a gente tem que v x = v ∙ cos ⁡ 45 ° = v ∙ 2 2

Chegamos então à expressão melhorada:

v ∙ 2 2 = D t

Guarda isso que já já a gente vai fazer uso!

Passo 2

Ok, agora a gente vai analisar o lançamento com ricocheteio, separando em 2 momentos: antes do ricocheteio e depois do ricocheteio, ok?

Pro momento antes do ricocheteio, avaliando o deslocamento horizontal, a gente pode escrever o seguinte:

v 1   x = d 1 t 1

Onde v 1   x , d 1 e t 1 são respectivamente a velocidade horizontal de deslocamento da bola, a distância horizontal alcançada no ricocheteio e o tempo que levou até o ricocheteio, ok?

Mas como a gente fez no Passo 1, dá pra gente reescrever v 1   x assim:

v 1   x = v 1 ∙ cos ⁡ θ

Onde v 1 é a velocidade original de lançamento pra esse caso.

Então, melhoramos a nossa expressão assim:

v 1 ∙ cos ⁡ θ = d 1 t 1

Passo 3

Fazemos o mesmo pra depois do ricocheteio, de modo análogo, a gente tem:

v 2   x = d 2 t 2

E. melhorando, podemos ainda escrever assim

v 2 ∙ cos ⁡ θ = d 2 t 2

Só queee, no enunciado a gente viu que a velocidade original pós ricocheteio é metade da velocidade original do lançamento inicial! Ou seja:

v 1 = 2 v 2

E, além disso, vale dizer que a soma das distâncias d 1 e d 2 equivale a D , além de que os tempos t 1 e t 2 , somados, precisam também valer o tempo t do lançamento a 45 ° , uma vez que alcançam a mesma posição D final. Matematicamente, escrevemos:

d 1 + d 2 = D

E

t 1 + t 2 = t

Passo 4

Do Passo 1, a gente obteve uma relação pra D t . Vamos reescrever ela a partir do que a gente obteve agora no último Passo. Vale o seguinte:

D t = d 1 + d 2 t 1 + t 2 = v ∙ 2 2

Certinho?

Só que a gente pode reescrever do seguinte modo, ainda, usando as expressões pras velocidades dos Passos 2 e 3, isolando-se d 1 e d 2 :

D t = v 1 ∙ cos ⁡ θ ∙ t 1 + v 2 ∙ cos ⁡ θ ∙ t 2 t 1 + t 2 = v ∙ 2 2

Lembrando que v 1 = 2 v 2 , a gente melhora isso mais ainda, assim:

2 v 2 ∙ cos ⁡ θ ∙ t 1 + v 2 ∙ cos ⁡ θ ∙ t 2 t 1 + t 2 = v ∙ 2 2

Vamos colocar o que for possível em evidência, assim:

v 2 ∙ cos ⁡ θ ∙ 2 ∙ t 1 + t 2 t 1 + t 2 = v ∙ 2 2

E agora, gente, lembra que a velocidade original de lançamento foi igual pros dois casos, portanto, v 2 = v ! E dá pra gente cortar os termos t 1 + t 2 em cima e embaixo! Beleza, vamos simplificar isso ainda mais, chegando nisso aqui:

v ∙ cos ⁡ θ ∙ 2 1 = v ∙ 2 2

2 cos ⁡ θ = 2 2

E, com isso, temos:

cos ⁡ θ = 2 4

Assim, o ângulo θ deve valer θ = arccos ⁡ 2 4 .

E como a gente discutiu, em relação aos tempos de voo, no total, eles precisam ser os mesmos pra que a bola alcance a mesma distância D, tudo bem?

Resposta

θ = arccos ⁡ 2 4

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