Enunciado

Um rifle que atira balas a 460   m / s é apontado para um alvo situado a 45,7   m de distância. Se o centro do alvo está na mesma altura do rifle, para que altura acima do alvo o cano do rifle deve ser apontado para que a bala atinja o centro do alvo?

Passo 1

Então galera, o movimento como um todo pode ser dividido em movimento uniforme em relação ao eixo x e movimento uniformemente variado em relação ao eixo y , pois se trata de um lançamento oblíquo, show? Dêem uma olhada na figura que exemplifica o problema :

A primeira coisa que devemos fazer, portanto , é calcular a velocidade inicial em função de θ em relação aos dois eixos:

v 0 x = v 0 * cos ⁡ θ

v 0 x = 460   m s * cos ⁡ θ

E:

v 0 y = v o * sen ⁡ θ

v 0 y = 460   m s * sen ⁡ θ

E como o movimento horizontal é uniforme, podemos entender a distância d como :

v 0 x = d t

d = v 0 * cos ⁡ θ * t '

t ' = d v 0 * cos ⁡ θ

Onde t ' é o tempo total de vôo da bala, ou seja, o tempo que ela fica no ar, antes de atingir o alvo.

Passo 2

Em relação ao eixo vertical, por sua vez, temos que:

s = s 0 + v 0 y t ' + a t ' 2 2

Para saber o tempo que ela demora para antigir o alvo, temos que saber o tempo que ela demora para chegar em s = 0 e, como parte da mesma altura, temos que s 0 = 0 . Além disso, vamos substituir a = - g , pois a aceleração aponta para baixo e v 0 y que achamos ali em cima:

0 = v 0 * sen ⁡ θ * t ' - g * t ' 2 2

Dividindo tudo por t ' :

v 0 * sen ⁡ θ -   g * t ' 2 = 0

Substituindo t ' que achamos no passo anterior :

v 0 * sen ⁡ θ - g * d 2 v 0 * cos ⁡ θ = 0

v 0 * sen ⁡ θ = g * d 2 v 0 * cos ⁡ θ

v 0 * sen ⁡ θ * 2 v 0 * cos ⁡ θ = g * d

2 v 0 2 * sen ⁡ θ * cos ⁡ θ = g * d

Agora vamos ter que usar a identidade sen ⁡ 2 θ = 2 sen ⁡ θ * cos ⁡ θ , obtendo assim :

v 0 2 * s e n ⁡ ( 2 θ ) = g * d

sen ⁡ 2 θ = g * d v 0 2

Substituindo os valores:

sen ⁡ 2 θ = 9,8 m s 2 * 45,7 m 460 m s 2

sen ⁡ 2 θ = 2,11 * 10 - 3

Obtemos assim que:

θ = 0,0606 °

Passo 3

Para atingir o centro do alvo, o rifle deve visar um ponto a uma altura l acima do alvo tal que tan ⁡ θ = l / d . Ou seja, vamos formar o triângulo retângulo em que os catetos são d e l . Assim,

l = d * tan ⁡ θ

l = 45,7   m * tan ⁡ 0,0606 °

l = 0,0484 m

l = 4,84   c m

Beleza??

Resposta

l = 4,84   c m

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