Enunciado

Em 1831, Michael Faraday fez girar um disco de cobre sobre os polos de um imã em forma de ferradura e observou o aparecimento de uma diferença de potencial constante entre duas escovas, uma em contato com o eixo do disco e a outra na periferia. Seja a o raio do disco.

  1. Se o disco gira com velocidade angular ω , com seu plano perpendicular ao campo magnético uniforme B , qual é a diferença de potencial V gerada entre o eixo e a periferia?
  2. Devido a esta diferença de potencial, passa uma corrente I entre o eixo e a periferia. Calcule o torque que é necessário exercer para manter o disco girando e mostre que a potência fornecida é igual a potência gerada.

Passo 1

Para começar, podemos fazer um esboço da configuração que o problema nos dá.

Agora vamos levar em consideração que o fluxo do campo magnético é dado por

ϕ = ∫ B →     .   d   S →

E o campo B no interior é constante. A sacada aqui é perceber estamos falando de um disco. Sabendo que o raio é a , portanto o arco é

C = a θ

e a área será

S = 1 2 a 2 θ     .

Então o fluxo será

ϕ = B 1 2 a 2 θ   .

Sabendo que

E = - d ϕ d t = - d d t B 1 2 a 2 θ  

e lembrando que

ω = d θ d t

Temos

E = - B 1 2 a 2 ω

Passo 2

No item (b) ele pede o torque. Precisamos lembrar que

d   τ → =   r → ×   d F →

E que a força magnética é

d F → = I d l → ×   B → .

Já sabemos que B é constante e d l = d r . Agora só precisamos fazer a integral abaixo

τ = I B ∫ 0 a r d r = I B a 2 2

Passo 3

Agora vamos verificar as potências geradas e fornecidas?!

Primeiro, temos que a potência fornecida é dada por

P F = τ ω = I B a 2 ω 2

Para terminar, a potência gerada é

P G = E I = I B a 2 ω 2

Como você pode ver, as potências são iguais.

Resposta

a )                 E = - B 1 2 a 2 ω

b )             τ = I B ∫ 0 a r d r = I B a 2 2

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