Enunciado

Ângulo da ligação no metano. Na molécula do metano, CH4, cada átomo de hidrogênio ocupa o vértice de um tetraedro regular em cujo centro se encontra o átomo de carbono. Usando coordenadas de tal modo que uma das ligações C - H esteja na direção i ^ + j ^ + k ^ , uma ligação adjacente estará na direção i ^ - j ^ - k ^ . Calcule o ângulo entre estas duas ligações.

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom?

Vamos começar desenhando a molécula do metano. A bolinha preta representa o átomo de carbono e as brancas ligadas a ela são os hidrogênios.

Como foi dito no problema, considerando que uma ligação C - H está na direção i ^ + j ^ + k ^ , a ligação adjacente, ou seja, a do lado estará na direção i ^ - j ^ - k ^ e queremos saber o ângulo, que eu chamei de φ , entre essas duas ligações.

Se pensarmos nas ligações como vetores, podemos usar o produto escalar para calcular esse ângulo.

Veja só!

Passo 2

Para resolver essa questão, nós temos duas definições para o produto escalar.

Uma delas é a 1.21:

A → ⋅   B → = A x B x + A y B y + A z B z

E a equação 1.18:

A → ⋅ B → = A B c o s φ

O que precisamos fazer é achar o produto escalar através da equação 1.21 e depois igualar à equação 1.18 pra achar o cosseno do ângulo entre eles e, consequentemente, o ângulo.

Animado? Então bora!

Passo 3

Para o nosso problema vamos considerar   A → como sendo a nossa primeira ligação:

A → = i ^ + j ^ + k ^  

E   B → como sendo a ligação adjacente:

B → =   i ^ - j ^ - k ^

Vamos usar a equação 1.21, lembrando que o vetor unitário i ^ está relacionado ao eixo x , o vetor unitário j ^ está relacionado ao eixo y e o vetor unitário k ^ está relacionado ao eixo z .

A → ⋅   B → = A x B x + A y B y + A z B z

A → ⋅   B → = 1 1 + 1 - 1 + 1 - 1

A → ⋅   B → =   - 1

Tranquilo até aqui?

Passo 4

Para igualarmos a equação 1.18, precisaremos achar os módulos de A → e B → , usando a fórmula do módulo de um vetor.

Começando por A → :

A =   1 2 + 1 1 + 1 1

A = 3

E agora B → :

B = 1 2 + - 1 2 + - 1 2

B = 3

Bacana, não é?

Passo 5

Já temos os módulos de A e B , só falta igualar o resultado da equação 1.21 à equação 1.18:

A → ⋅ B → = A B c o s φ

- 1 = 3 3 c o s φ

c o s φ = - 1 ( 3 3 )

c o s φ =   - 1 3

Estamos quase lá!

Passo 6

Agora é só usar o arco-cosseno pra encontrar o ângulo. O que quer dizer que vamos nos perguntar: Qual o ângulo que tem o cosseno igual a - 1 3 ? Podemos procurar isso na calculador e encontraremos:

φ = arccos ⁡ - 1 3 =   109 °

E achamos o ângulo, pimpolho!

Entendeu tudo? Responde Aí! 😉

Resposta

109°

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