Enunciado

Verdedeiro ou falso:

  1. Se dois vetores têm sentidos opostos, seu produto vetorial deve ser zero.
  2. A magnitude do produto vetorial de dois vetores é mínima quando os vetores são perpendiculares.
  3. O conhecimento da magnitude do produto vetorial de dois vetores não-nulos, além das magnitudes individuais dos vetores, permite a determinação unívoca do ângulo entre eles.

Passo 1

Vamos lembrar de como se calcula o módulo do produto vetorial:

A → × B → = A → ⋅ B → ⋅ s e n θ

Onde θ é o ângulo entre eles.

Agora é olhar os itens e responder!

Passo 2

a) Vamos avaliar. Se dois vetores estão em uma mesma direção, mas sentidos opostos, o ângulo entre esses vetores é θ = 180 ° , e aí

A → × B → = A → ⋅ B → ⋅ s e n 180 ° = A → ⋅ B → ⋅ 0 = 0

Então essa é verdadeira!

Passo 3

b) Se os vetores são perpendiculares, o ângulo entre eles é θ = 90 ° , e então na expressão do produto vetorial o seno vai assumir o maior valor possível que é 1 .

A → × B → = A → ⋅ B → ⋅ s e n   90 ° = A → ⋅ B →

O que faz com que o valor do resutado do produto vetorial seja máximo e não mínimo. Logo, essa é falsa.

Passo 4

c) Vamos entender o que ele falou. Ele diz se a gente conhece o módulo do resultado do produto vetorial entre dois vetores, e também o módulo desses dois vetores separadamente, ou seja, se conhecemos

A → × B →

A →

B →

Ele diz que podemos encontrar o ângulo entre eles. Mas cuidado, ao dizer “determinação unívoca do ângulo”, ele quer dizer que vamos com certeza encontrar apenas um ângulo.

Agora vamos analisar, se a gente tiver esses dados que ele falou e jogá-los na nossa equação do passo 1

A → × B → = A → ⋅ B → ⋅ s e n θ

A gente pode isolar θ para achar o valor dele, repara

s e n   θ = A → × B → A → ⋅ B → → θ = a r c s e n A → × B → A → ⋅ B →

Ele diz que a partir dessa equação, achamos somente um valor para θ . Mas, isso não é verdade. Por que? Esse argumento do arcoseno é positivo porque só temos módulos ali, né?

Então, esse ângulo θ vai estar onde o seno é positivo. Só que o seno é positivo em dois quadrantes do círculo trigonométrico, então teremos dois ângulos com mesmo valor de seno que satisfazem essa equação.

Portanto, o ângulo não está determinado unicamente. E essa afirmativa é falsa.

Resposta

a) Verdadeiro

b) Falso

c) Falso

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