Enunciado

28. A FIGURA P13.28 mostra três massas. Qual é o módulo e qual é a orientação da força gravitacional resultante sobre ( a ) a massa de 20,0   k g e ( b ) a massa de 5,0   k g ? Determine a orientação por meio de um ângulo horário ou anti-horário com o eixo y .

Passo 1

Vamos para cima desse exercício. Primeiro vamos identificar as massas para a gente não se perder.

Lembrando que precisaremos da distância entre a massa de 10   k g e a de 5   k g , que por Pitágoras temos que vale 22,36   c m . Abaixo temos uma representação pictórica.

Esse problema tanto no item ( a ) quanto no item ( b ) pede a força resultante e sua orientação.

Vamos primeiro discutir a situação de ( a ) . Ele quer a força resultante em m 1 .

Nessa massa temos a ação da força gravitacional de m 2 sobre ela na vertical F m 2 m 1 e a força de m 3 sobre ela na horizontal F m 3 m 1 .

Com isso a força resultante vai ter duas componentes para achar seu valor basta calcular o módulo dessa força. O ângulo que essa força faz com a vertical pode ser encontrado usando a tangente desse ângulo da seguinte maneira:

tg ⁡ ϕ = F m 3 m 1 F m 2 m 1

Agora para o item ( b ) ele quer a força resultante em m 3 .

Nessa massa temos a ação da força gravitacional de m 2 sobre ela na diagonal F m 2 m 3 , logo essa força terá uma componente horizontal e uma vertical com relação ao ângulo θ , e a força de m 1 sobre ela na horizontal F m 1 m 3 .

A força resultante nesse caso também vai ter duas componentes para achar seu valor basta calcular o módulo dessa força. O ângulo que essa força faz com a vertical pode ser encontrado usando a mesmo argumento de ( a ) .

Vamos adotar o sentido horário como o positivo para a orientação das forças.

Passo 2

Vamos começar com o item ( a ) .

Primeiro vamos calcular o valor de F m 2 m 1 , temos o seguinte:

F m 2 m 1 = G m 1 m 2 r 12 2

Substituindo os valores que conhecemos, temos:

F m 2 m 1 = ( 6,67 ⋅ 10 - 11 ) ( 20 ) ( 10 ) 0,2 2

⇒ F m 2 m 1 = 3,335 ⋅ 10 - 7   N

Como essa força está na vertical para cima temos:

F → m 2 m 1 = 3,335 ⋅ 10 - 7 j   N

Agora vamos calcular o valor de F m 3 m 1 , temos o seguinte:

F m 3 m 1 = G m 3 m 1 r 31 2

Substituindo os valores que conhecemos, temos:

F m 3 m 1 = ( 6,67 ⋅ 10 - 11 ) ( 5 ) ( 20 ) 0,1 2

⇒ F m 3 m 1 = 6,67 ⋅ 10 - 7   N

Como essa força está na horizontal para direita temos:

F → m 3 m 1 = 6,67 ⋅ 10 - 7 i   N

Passo 3

Com as informações do passo anterior temos que a força resultante em m 1 , temos que:

F → R 1 = 6,67 ⋅ 10 - 7 i   N + 3,335 ⋅ 10 - 7 j   N

O módulo dessa força é dado por:

F → R 1 = F R 1 = 6,67 ⋅ 10 - 7 2 + 3,335 ⋅ 10 - 7 2

⇒ F R 1 = 7,46 ⋅ 10 - 7   N

O ângulo de orientação dessa força com a vertical é dado por:

tg ⁡ ϕ = 6,67 ⋅ 10 - 7 3,335 ⋅ 10 - 7

⇒ ϕ = 63,4 °

Passo 4

Agora vamos para o item ( b ) .

Primeiro vamos calcular o valor de F m 1 m 3 , temos o seguinte:

F m 1 m 3 = - F m 3 m 1

Então temos que:

F m 1 m 3 = - 6,67 ⋅ 10 - 7   N

Como essa força está na horizontal para direita temos:

F → m 1 m 3 = - 6,67 ⋅ 10 - 7 i   N

Agora vamos calcular o valor de F m 2 m 3 , temos o seguinte:

F m 2 m 3 = G m 3 m 2 r 32 2

Substituindo os valores que conhecemos, temos:

F m 2 m 3 = ( 6,67 ⋅ 10 - 11 ) ( 5 ) ( 10 ) 0,2236 2

⇒ F m 2 m 3 = 6,67 ⋅ 10 - 8   N

Temos que essa força é diagonal então decompondo ela nas suas componentes horizontal e vertical, temos:

F → m 2 m 3 = - 6,67 ⋅ 10 - 8 cos ⁡ θ i + 6,67 ⋅ 10 - 8 sen ⁡ θ j

Mas temos como encontrar os valores de cos ⁡ θ e sen ⁡ θ , da seguinte forma:

cos ⁡ θ = 0,1 0,2236 = 0,447

E

sen ⁡ θ = 0,2 0,2236 = 0,894

Então temos que:

F → m 2 m 3 = - 2,98 ⋅ 10 - 8 i + 5,96 ⋅ 10 - 8 j

Passo 5

Com as informações do passo anterior temos que a força resultante em m 3 , temos que:

F → R 3 = - 6,968 ⋅ 10 - 7 i   N + 5,96 ⋅ 10 - 8 j   N

= - 6,968 ⋅ 10 - 7 i   N + 0,596 ⋅ 10 - 7 j   N

O módulo dessa força é dado por:

F → R 3 = F R 3 = - 6,968 ⋅ 10 - 7 2 + 0,596 ⋅ 10 - 7 2

⇒ F R 3 = 7,01 ⋅ 10 - 7   N

O ângulo de orientação dessa força com a vertical é dado por:

tg ⁡ ϕ ' = - 6,968 ⋅ 10 - 7 0,596 ⋅ 10 - 7

⇒ ϕ ' = - 85,11 °

Resposta

( a )

F R 1 = 7,46 ⋅ 10 - 7   N

ϕ = 63,4 °

( b )

F R 3 = 7,01 ⋅ 10 - 7   N

ϕ ' = - 85,11 °

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