Enunciado

28. Quão próximas umas das outras estão as moléculas de um gás? Considere um gás ideal a 27   ° C e 1,0   a t m de pressão. Imagine que as moléculas sejam, na média, uniformemente espaçadas, cada molécula ocupando o centro de um pequeno cubo. a ) Qual é o comprimento da aresta desse cubo, supondo que os cubos adjacentes se toquem, mas não se superponham? b ) Como essa distância se compara com o diâmetro de uma molécula típica? c ) Como essa separação se compara ao espaçamento dos átomos em sólidos, que costumam estar a 0,3   n m de distância dos outros?

Passo 1

Para esse problema vamos nos ligar primeiro que um cubo tem todas as arestas iguais, vamos chamar de L .

Como temos molécula envolvida, vamos usar o volume do cubo, que é onde a molécula está confinada, para nos ajudar a encontrar o que queremos, já que para um cubo

V = L 3

Para achar esse volume podemos usar a seguinte expressão:

p V = n R T

Onde n = N / N A , assim:

p V = N N A R T

Isolando o volume, ficamos com:

V = N N A R T p

Onde N A é a constante de Avogadro, que tem como valor:

N A = 6,02 * 10 23   m o l é c u l a s / m o l

A constante dos gases R para essa situação é:

R = 8,3145   J / m o l ⋅ K

Os valores de T e p , são dados pelo enunciado, então:

T = 27 ° C = 3 00   K

p = 1   a t m = 1,013 * 10 5   P a

Para responder o item ( b ) teremos que comparar o resultado que encontramos com o diâmetro típico de uma molécula que é da ordem de

3,7 * 10 - 10   m

O item ( c ) é a mesma coisa, só que o espaçamento entre átomos em um sólido é da ordem de

3   n m = 3 * 10 - 9   m

Passo 2

Agora basta pegar a equação que chegamos para o volume e substituir o que conhecemos, temos:

V = N N A R T p

⇒ V = 1 6,02 * 10 23 8,3145 3 00 1,013 * 10 5

= 2494,35 6,09826 * 10 28

Então, temos que:

V = 409,026 * 10 - 28

= 4,09 * 10 - 26   m 3

Passo 3

Agora que temos o volume, podemos usar a expressão do volume do cubo, temos:

V = L 3

⇒ L = V 1 3

Assim, temos:

L = 4,09 * 10 - 26 1 3

⇒ L = 3,44 * 10 - 9   m

Passo 4

Agora que temos o tamanho da aresta é possível ver que ela é 10 vezes maior que o diâmetro de uma molécula típica.

E podemos ver também que essa aresta é da mesma ordem de grandeza que as distâncias entre os átomos de um sólido.

Resposta

( a )

L = 3,44 * 10 - 9   m

( b )

A aresta é da ordem de 10 vezes maior que o dímetro de uma molécula típica

( c )

A aresta é da mesma ordem de grandeza que as distâncias entre os átomos de um sólido.

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