Enunciado

29. O pai do Exemplo 8.3 está em pé no topo de uma colina de forma cônica enquanto gira seu filho de 25   k g em um carrinho preso por uma corda de 2,0   m de comprimento. Os lados da colina são inclinados em   20 ° . Ele mantém a corda paralela ao solo, e o atrito é desprezível. Que valor de tensão na corda permitirá que o carro gire com as mesmas 14   r p m daquele exemplo?

Passo 1

Opa! Aqui vamos nós de novo!

Olha só! Mesmo com os lados da colina inclinados em 20 ° , o garoto ainda continuará exercendo um movimento circular descrito pela seguinte imagem abaixo...

O que vai mudar é o diagrama de corpo livre, uma vez que os lados da colina são inclinados em 20   ° . Ele vai ter a seguinte cara abaixo;

E também sabemos dos seguintes dados...

m = 25,0   k g

ω = 14   r p m

O raio aqui, também vai ser diferente. Precisamos levar em conta o ângulo de 20 ° ;

r = 2,0   m ⋅ cos ⁡ 20 °

r = 1,88   m

Passo 2

Feito essa parte introdutória, vamos ao que interessa.

Bora aplicar o somatório das forças na direção radial, afinal essa é a direção responsável pelo movimento circular, onde é produzida a resultante centrípeta...

∑ F r = m a r

T cos ⁡ 20 ° - n sen ⁡ 20 ° = m a r = m ω 2 R

Para determinar a velocidade angular ω em r a d / s , basta fazer...

ω = 14   r p m = 14 ⋅ 2 π   r a d 60   s

ω = 7 π 15   r a d / s

E ficamos com...

T cos ⁡ 20 ° - n sen ⁡ 20 ° = m a r = m ω 2 R

T cos ⁡ 20 ° - n sen ⁡ 20 ° = ( 25,0   k g ) 7 π 15 r a d s 2 ( 1,88   m )

T cos ⁡ 20 ° - n sen ⁡ 20 ° = 101   N

Depois, vamos aplicar o somatório das forças na direção z . Nessa direção, nosso garoto está em equilíbrio...

∑ F z = 0

T sen ⁡ 20 ° + n cos ⁡ 20 ° - m g = 0

T sen ⁡ 20 ° + n cos ⁡ 20 ° = m g

T sen ⁡ 20 ° + n cos ⁡ 20 ° = ( 25   k g ) ( 9,81   m / s ² )

T sen ⁡ 20 ° + n cos ⁡ 20 ° = 245   N

Passo 3

Chegamos então, ao seguinte sistema...

T cos ⁡ 20 ° - n sen ⁡ 20 ° = 101   N   ( 1 ) T sen ⁡ 20 ° + n cos ⁡ 20 ° = 245   N   ( 2 )

Multiplicando a primeira equação por - sen ⁡ 20 ° e a segunda por cos ⁡ 20 ° ;

- T cos ⁡ 20 ° sen ⁡ 20 ° - n sen ⁡ 20 ° ⋅ - sen ⁡ 20 ° = - 101 sen ⁡ 20 °   N   1 T sen ⁡ 20 ° cos ⁡ 20 ° + n cos ⁡ 20 ° cos ⁡ 20 ° = 245 cos ⁡ 20 °   N   2

E somando as duas, em seguida...

n sen 2 ⁡ 20 ° + n cos 2 ⁡ 20 ° = 245 cos ⁡ 20 ° - 101 sen ⁡ 20 °

n sen 2 ⁡ 20 ° + cos 2 ⁡ 20 ° = 245 cos ⁡ 20 ° - 101 sen ⁡ 20 °

n = ( 245 cos ⁡ 20 ° - 101 sen ⁡ 20 ° )   N

n = 195,68   N

Quanto a tração T :

T cos ⁡ 20 ° - n sen ⁡ 20 ° = 101   N

T = 101   N + n sen ⁡ 20 ° cos ⁡ 20 °

T = 101   N + ( 195,68   N ) sen ⁡ 20 ° cos ⁡ 20 °

T = 178,7   N

Esse é o valor da tensão na corda que permitirá que o carro gire com as mesmas 14   r p m daquele exemplo.

Resposta

T = 178,7   N

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