Enunciado

29.78   Considere um disco metálico uniforme que gira através de um campo magnético B → perpendicular ao seu plano, como indicado na F i g u r a   29.19 a . O disco possui massa m , raio R e espessura t , é feito de um material com resistividade re gira no sentido horário da F i g u r a   29.19 a com velocidade angular w. O campo magnético está entrando no plano do disco. Suponha que a região na qual o campo magnético esteja confinado, em vez de circular como indicado na F i g u r a   29.19 a , seja delimita da por um quadrado de lado igual a   L   ( L   < <   R ) , centralizado em uma distância d do ponto O (o centro do disco). Os lados desso quadrado são verticais e horizontais na F i g u r a   29.19 a . ( a ) Mostre que a corrente induzida no interior do quadrado é dada por I   = ω d B L t / ρ . Em que sentido essa corrente flui? (Sugestão: suponha que a resistência oferecida ao fluxo da corrente esteja confinada na região do quadrado. A corrente também encontra resistência fora da região na qual o campo magnético está confinado, como indicado na F i g u r a   29.19 b ; contudo, essa resistên cio é relativamente pequena porque ela pode fluir com facilidade de através dessa área tão grande. Lembre-se da E q u a ç ã o   ( 25.10 ) para a resistência dada na S e ç ã o   25.3 .) ( b ) Mostre que a corren te induzida de origem a um torque aproximado dado por o τ = ω d 2 B 2 L 2 t / ρ   que se opõe a rotação do disco (ou seja, o torque possui sentido anti-horário). ( c ) Quais devem ser os módulos e os sentidos do torque e da corrente induzida se o sentido de B → continuar para dentro do plano, mas o disco passar a girar no sentido anti-horário? O que ocorreria se o sentido de B → fosse orientado para fora do plano e se o disco passasse a girar no sentido anti-horário?

Passo 1

( a )

v ≅ ω r ≅ ω d

ω ⇒ h o r a r i o ,   B ⇒ e n t r a n d o   n a   p á g i n a  

ε = v B L = ω d B L

⇒ i = ε R = ε A ρ L = ω d B A ρ  

Como v × B aponta para o exterior,   A é apenas a área da seção transversal t L , assim:

⇒ i = ω d B t L ρ  

Passo 2

( b )

τ = d × F        

F B = i L × B = i L B   ,   a p o n a n d o   n o   s e n t i d o   a n t i - h o r á r i o  

Assim:

τ = ω d 2 B 2 L 2 t ρ   ,   a p o n t a n d o   p a r a   f o r a   d a   p á g i n a

Passo 3

( c )

Se   ω ⇒ anti-horario e   B ⇒ entrando na página,

Então i ⇒ para dentro radialmente desde, que v × B aponta para dentro.

τ ⇒     Horário, se opondo ao movimento.

Se   ω ⇒ anti-horario e   B ⇒ saindo da página,

Então i ⇒ para fora radialmente.

Resposta

( a )

i = ω d B t L ρ  

( b )  

τ = ω d 2 B 2 L 2 t ρ   ,   a p o n t a n d o   p a r a   f o r a   d a   p á g i n a

  ( c )

Se   ω ⇒ anti-horario e   B ⇒ entrando na página,

Então i ⇒ para dentro radialmente desde, que v × B aponta para dentro.

τ ⇒     Horário, se opondo ao movimento.

Se   ω ⇒ anti-horario e   B ⇒ saindo da página,

Então i ⇒ para fora radialmente.

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